Studio del segno di una derivata

[kkkcristo]

La derivata di $2x + sqrt(x^2 - 1)$ è $2 + x/sqrt(x^2 - 1)$. Nello studio del segno mi risulta che il denominatore è positivo per $x<-1$ e $x>1$ ed il numeratore è positivo per $x<=-2/sqrt(3)$ e $x>=2/sqrt(3)$. Quando studio i risultati per vedere dove la funzione cresce e decresce ho questo risultato:


++++++|------------------------------|+++++ NUM
++++++|+++++|----------|+++++|+++++ DEN
________|_______|_______ |______ |___________
______$-2/sqrt(3)$_____$-1$________$1$______$2/sqrt(3)$

Con il risultato che f(x) è crescente per $x<=-2/sqrt(3)$ e $x>=2/sqrt(3)$ mentre è decrescente per $-2/sqrt(3)<=x<-1$ e $12/sqrt(3)$ cosa sbaglio?

[EnderWiggins]

Beh, io aggiungerei che sia crescente anche per
$ -1 < x < 1$.
Da quanto ho capito in questo intervallo la frazione è positiva dal momento che numeratore e denominatore sono entrambi negativi.

[kkkcristo]

"EnderWiggins":Beh, io aggiungerei che sia crescente anche per
$ -1 < x < 1$.
Da quanto ho capito in questo intervallo la frazione è positiva dal momento che numeratore e denominatore sono entrambi negativi.

Si ma ho escluso quella parte perché per le condizioni di esistenza $x^2-1$ dev'essere $>=0$ quindi la funzione non esiste per valori compresi tra -1 e 1.

[Steven11]

Calma.

Come già detto, per $-1
kkkcristo, il denominatore è SEMPRE positivo.
Infatti la radice quadrata aritmetica è sempre un numero reale non negativo, per sua definizione.
Quindi, la derivata è
$\frac{2sqrt(x^2-1)+x}{sqrt(x^2-1)}$
Il denominatore non influisce sul segno, è sempre positivo.
Quindi la frazione assume il segno assunto dal numeratore.

Ora vediamo se ti torna.
Ciao!

[kkkcristo]

"Steven":Calma.

Come già detto, per $-1
kkkcristo, il denominatore è SEMPRE positivo.
Infatti la radice quadrata aritmetica è sempre un numero reale non negativo, per sua definizione.
Quindi, la derivata è
$\frac{2sqrt(x^2-1)+x}{sqrt(x^2-1)}$
Il denominatore non influisce sul segno, è sempre positivo.
Quindi la frazione assume il segno assunto dal numeratore.

Ora vediamo se ti torna.
Ciao!

La derivata è la stessa solo che nel tuo caso hai già raccolto il denominatore. In questo modo però la funzione risulterebbe crescente per valori esterni a $+-2/sqrt(3)$ e negativa per valori interni. Però per x>1 dovrebbe essere crescente.

[kkkcristo]

"Sergio":[quote="kkkcristo"]Si ma ho escluso quella parte perché per le condizioni di esistenza $x^2-1$ dev'essere $>=0$ quindi la funzione non esiste per valori compresi tra -1 e 1.

Un paio di cosucce: il grafico dei segni non si legge per niente bene, si deve tenere conto che la funzione non è definta in $[-1,1]$, la derivata è sempre positiva per $x>1$.
Provo a ridisegnare il grafico dei segni della derivata usando l'ambiente $["code"]$ e usando "V3" invece di $sqrt(3)$, in modo da evidenziare che la derivata è negativa solo per $-2/sqrt(3) < x < -1$ (per $x>1$, quindi anche per $1 < x < 2/sqrt(3)$, è positiva in quanto sono positivi sia $2sqrt(x^2-1)$ che $x$):

            -2/V3 -1          0          1   2/V3
    ----------|----|----------|----------|----|----------

num +++++++++++----                       +++++++++++++++    

den +++++++++++++++                       +++++++++++++++  

der +++++++++++----                       +++++++++++++++

E in effetti la funzione cresce fino a $x=-2/sqrt(3)$, poi decresce fino $x<-1$, si interrompe in $[-1,1]$, poi cresce sempre.
Ecco il tratto per $x<-1$:
[asvg]xmin=-3;
xmax=-1;
ymin=-3;
ymax=1;
axes("labels");
plot("2*x+sqrt(x^2-1)");[/asvg][/quote]

Grazie mille, chiarissimo!
Solo che non capisco perchè, se studiando il numeratore mi risulta che è positivo per valori esterni di $+-2/sqrt(3)$ devo conisderare che per x>1 è positivo. Insomma, i risultati sono sbagliati?! Ho capito che è positiva perchè per x>1 è tutto positivo ma allora perchè lo studio del segno mi dive che l' è negativa? In pratica non capisco se posso fidarmi o meno dello studio del segno, i risultati mi danno una cosa che in realtà non è.

[kkkcristo]

"Sergio":Credo che la risposta stia in un'altra domanda. Come sviluppi la disequazione $2sqrt(x^2-1)+x>=0$?

Infatti, stavo pensando che molto probabilmente è lì l'errore. Io porto la x a destra ed elevo tutto al quadrato. E' sbagliato vero?

[kkkcristo]

"Sergio":Le disequazioni irrazioniali sono banali rispetto a tanti altri rami della matematica, ma restano comunque una brutta bestia.
Limitiamoci a quelle in cui l'indice di radice è $2$ (per altri indici pari è lo stesso, con quelli dispari tutto fila liscio).
Si deve distinguere tra $sqrt(f)>g$ e $sqrt(f)
a) Nel caso di $sqrt(f) ${(f(x)>=0),(g(x)>0),(f(x)<[g(x)]^2) :}

b) Nel caso di $sqrt(f)>g$, dove $g$ è negativa la disequazione è sempre verificata perché $sqrt(f)$ non può essere negativa; dove invece $g$ è positiva, puoi tranquillamente elevare al quadrato.
Devi quindi impostare due sistemi:
${(g(x)<0),(f(x)>=0) :}" "$ e $" "{(g(x)>=0),(f(x)>[g(x)]^2) :}$
e le soluzioni della disequazione sono l'unione delle soluzioni dei due sistemi.

Venendo al nostro caso, $f=2sqrt(x^2-1)$ e $g=-x$, in quanto si parte da $2sqrt(x^2-1)+x>0$ per arrivare a $2sqrt(x^2-1)> -x$.
Siamo nel caso b) ed imposto il primo sistema:
${(-x<0),(x^2-1>=0) :}$
Soluzione: $x>1$.
Imposto ora il secondo, elevando al quadrato:
${(-x>=0),(4x^2-4>x^2) :}$
La seconda disequazione mi dà $x<-2/sqrt(3)$ e $x>2/sqrt(3)$, ma, tenendo conto della prima, la soluzione è solo $x< -2/sqrt(3)$.
Conclusione:
-- dal primo sistema: $x>1$
-- dal secondo: $x< -2/sqrt(3)$
quindi il numeratore è positivo in $(-oo,-2/sqrt(3))uu(1,oo)$,

PS: Trovi tutto questo in un libretto "di basso rango" ma utile: Giovanni Malafarina, Matematica per i precorsi.

Grazie mille per la pazienza, ora ho capito tutto.