Studio del segno di derivate prime e seconde
Ho un dubbio pazzesco: se ho una funzione, definita a tratti, quindi diciamo una parte maggiore di zero e una minore di zero, mi calcolo le derivate prime e voglio studiare il segno della derivata, come faccio? Faccio un esempio concreto della funzione che sto studiando
Sono arrivata a studiare il segno della derivata seconda, che è
$ -1/(4sqrt((x+1)^3) $ se $ x>=0 $
$ (-3x+5)/[(x-1)^3(x-2)^2] $ se $ x<0 $
Allora io direi: studio la positività, quindi pongo la prima equazione maggiore di 0 e la metto a sistema con x>0, poi pongo la seconda equazione maggiore di 0 la metto a sistema con x<0. Già qua mi sono trovata in difficoltà, perché non riesco a trovare soluzioni ai due sistemi (si accettano proposte!). In ogni caso, diciamo che ho trovato le soluzioni dei sue sistemi, poi le devo mettere insieme in una griglia di segno per vedere dove la derivata è positiva e dove è negativa?
E se i sistemi veramente non hanno soluzioni cosa vuol dire? Che la funzione non è né concava né convessa?
Sono arrivata a studiare il segno della derivata seconda, che è
$ -1/(4sqrt((x+1)^3) $ se $ x>=0 $
$ (-3x+5)/[(x-1)^3(x-2)^2] $ se $ x<0 $
Allora io direi: studio la positività, quindi pongo la prima equazione maggiore di 0 e la metto a sistema con x>0, poi pongo la seconda equazione maggiore di 0 la metto a sistema con x<0. Già qua mi sono trovata in difficoltà, perché non riesco a trovare soluzioni ai due sistemi (si accettano proposte!). In ogni caso, diciamo che ho trovato le soluzioni dei sue sistemi, poi le devo mettere insieme in una griglia di segno per vedere dove la derivata è positiva e dove è negativa?
E se i sistemi veramente non hanno soluzioni cosa vuol dire? Che la funzione non è né concava né convessa?
Risposte
"Ingy":
Allora io direi: studio la positività, quindi pongo la prima equazione maggiore di 0 e la metto a sistema con x>0, poi pongo la seconda equazione maggiore di 0 la metto a sistema con x<0. Già qua mi sono trovata in difficoltà, perché non riesco a trovare soluzioni ai due sistemi (si accettano proposte!).
Non è difficile, dai
Per $x>=0$ è immediato che è sempre negativa (perché?), per $x<0$ studi il segno e trovi che è positiva negli intervalli $(-oo,1)$ e $(5/3,+oo)$."Ingy":
In ogni caso, diciamo che ho trovato le soluzioni dei sue sistemi, poi le devo mettere insieme in una griglia di segno per vedere dove la derivata è positiva e dove è negativa?
No non devi fondere i due sistemi: uno ha valore per $x<0$, l'altro per $x>=0$.
Per la prima ok, se x è positiva e ho un meno davanti alla derivata allora sarà sempre negativa, ma ponendo la seconda maggiore di zero per x<0 mi risulta
$ { ( x<5/3 ),( x>1 ),( x<0 ):} $
Se studio il segno mi viene che è positiva per 05/3
Cosa sbaglio?
E poi se sto studiando la funzione "a sinistra" che senso ha dire che è positiva per x positive? In teoria dovrei guardare solo i valori delle x negative, no?
$ { ( x<5/3 ),( x>1 ),( x<0 ):} $
Se studio il segno mi viene che è positiva per 0
Cosa sbaglio?
E poi se sto studiando la funzione "a sinistra" che senso ha dire che è positiva per x positive? In teoria dovrei guardare solo i valori delle x negative, no?
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