Studio del segno derivata prima...
Buona sera a tutti, non riesco a risolvere la derivata prima di questa funzione....La funzione è $-e^(-x)*(x^2+2x-3)/(x^2-3)^2$; la sua derivata prima è $e^(-x)*(x^4-2x^2+4x-3)/(x^2-3)^3$ provando a scomporre il polinomio con Ruffini mi esce:
$e^(-x)*((x-1)*(x^3+x^2-x+3))/(x^2-3)^3>=0$ però adesso non rieswco a risolverla ho provato a scomporre di nuovo il polinomio ma con Ruffini non si può... come devo fare?
$e^(-x)*((x-1)*(x^3+x^2-x+3))/(x^2-3)^3>=0$ però adesso non rieswco a risolverla ho provato a scomporre di nuovo il polinomio ma con Ruffini non si può... come devo fare?
Risposte
Intanto iniziamo a dire che la funzione esponenziale è sempre positiva, quindi non dà peso alla disequazione. Poi per quanto riguarda il polinomio di terzo grado mi sa che se Ruffini non funziona dobbiamo fare per forza uno studio grafico.
Non penso, temo di aver sbagliato la derivata prima infatti rifacendo i calcoli esce diversamente però lo stesso non si trova con Ruffini, ma per poco....posto i passaggi, è da 2 giorni che ricontrollo i calcoli ma non capisco cosa sbaglio...
$e^(-x)*(x^2+2x-3)/((x^2-3)^2)-e^(-x)*((2x+2)(x^2-3)^2-2(x^2-3)2x(x^2+2x-3))/(x^2-3)^4$ metto in evidenza $(x^2-3)$ e semplifico e quindi viene:
$e^(-x)*(x^2+2x-3)/((x^2-3)^2)-e^(-x)*[((2x+2)(x^2-3)-4x(x^2+2x-3))/(x^2-3)^3] =$ $e^(-x)*(x^2+2x-3)/((x^2-3)^2)-e^(-x)*[(2x^3-6x+2x^2-6-4x^3-8x^2+12x)/(x^2-3)^3] =$
$e^(-x)*(x^2+2x-3)/((x^2-3)^2)-e^(-x)*(-2x^3-6x^2+6x-6)/((x^2-3)^3)$ metto in evidenza $e^(-x)$ e do denominatore comune:
$e^(-x)[((x^2+2x-3)(x^2-3)-(-2x^3-6x^2+6x-6))/((x^2-3)^3)]=$$e^(-x)[(x^4-3x^2+2x^3-6x-3x^2+9+2x^3+6x^2-6x+6)/((x^2-3)^3)]=$
$e^(-x)[(x^4+4x^3-12x+15)/((x^2-3)^3)]$.....provo a scomporre con Ruffini ma non mi trovo... non capisco dove sto sbagliando....
$e^(-x)*(x^2+2x-3)/((x^2-3)^2)-e^(-x)*((2x+2)(x^2-3)^2-2(x^2-3)2x(x^2+2x-3))/(x^2-3)^4$ metto in evidenza $(x^2-3)$ e semplifico e quindi viene:
$e^(-x)*(x^2+2x-3)/((x^2-3)^2)-e^(-x)*[((2x+2)(x^2-3)-4x(x^2+2x-3))/(x^2-3)^3] =$ $e^(-x)*(x^2+2x-3)/((x^2-3)^2)-e^(-x)*[(2x^3-6x+2x^2-6-4x^3-8x^2+12x)/(x^2-3)^3] =$
$e^(-x)*(x^2+2x-3)/((x^2-3)^2)-e^(-x)*(-2x^3-6x^2+6x-6)/((x^2-3)^3)$ metto in evidenza $e^(-x)$ e do denominatore comune:
$e^(-x)[((x^2+2x-3)(x^2-3)-(-2x^3-6x^2+6x-6))/((x^2-3)^3)]=$$e^(-x)[(x^4-3x^2+2x^3-6x-3x^2+9+2x^3+6x^2-6x+6)/((x^2-3)^3)]=$
$e^(-x)[(x^4+4x^3-12x+15)/((x^2-3)^3)]$.....provo a scomporre con Ruffini ma non mi trovo... non capisco dove sto sbagliando....
Guarda ho appena rifatto i calcoli per conto mio e anche io giungo alla tua stessa conclusione. Se con ruffini non ci riesci magari vedi con la discussione grafica cosa succede, perchè l'unico termine che da scocciature è il polinomio al numeratore.
Salve, io ho un problema simile con lo studio del segno della derivata di questa funzione:
$f(x) =(x-1) log |x-1| + x^(2) - 4x$
la cui derivata dovrebbe essere:
$f'(x) = log|x-1| + 2x -3$
ho provato a risolvere f'(x)>0 portando all'esponente di e:
$|x-1|e^{2x-3} >1$
sono arrivato alla conclusione che il prodotto è maggiore di 1 se entrambi lo sono e minore di 1 se entrambi lo sono, ma non riesco a capire quando un membro è maggiore di uno e l'altro no, infatti:
• ${(|x-1|>1), (e^{2x-3}>1):} => {(x<0 \vee x>2), (x>3/2):} => x>2 => f'(x)>0$
• ${(|x-1|<1), (e^{2x-3}<1):} => {(0 0 f'(x)<0$
• ${(|x-1|<1), (e^{2x-3}>1):} => $???
• ${(|x-1|>1), (e^{2x-3}<1):} => $???
ed in effetti sembra che abbia ragione x gli intervalli che riesco a risolvere: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2* ... |%29-3%3E0
Se avete qualche idea su come risolvere il mio problema vi prego di aiutarmi. Grazie in anticipo!
PS: Scusate se non ho scritto nel formato corretto o sono in una sezione sbagliata ma non ho mai scritto qua, inoltre se potete datemi qualche link per imparare ad usare l'editor.
$f(x) =(x-1) log |x-1| + x^(2) - 4x$
la cui derivata dovrebbe essere:
$f'(x) = log|x-1| + 2x -3$
ho provato a risolvere f'(x)>0 portando all'esponente di e:
$|x-1|e^{2x-3} >1$
sono arrivato alla conclusione che il prodotto è maggiore di 1 se entrambi lo sono e minore di 1 se entrambi lo sono, ma non riesco a capire quando un membro è maggiore di uno e l'altro no, infatti:
• ${(|x-1|>1), (e^{2x-3}>1):} => {(x<0 \vee x>2), (x>3/2):} => x>2 => f'(x)>0$
• ${(|x-1|<1), (e^{2x-3}<1):} => {(0
• ${(|x-1|<1), (e^{2x-3}>1):} => $???
• ${(|x-1|>1), (e^{2x-3}<1):} => $???
ed in effetti sembra che abbia ragione x gli intervalli che riesco a risolvere: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2* ... |%29-3%3E0
Se avete qualche idea su come risolvere il mio problema vi prego di aiutarmi. Grazie in anticipo!
PS: Scusate se non ho scritto nel formato corretto o sono in una sezione sbagliata ma non ho mai scritto qua, inoltre se potete datemi qualche link per imparare ad usare l'editor.
Io, per studiarne il segno, cercherei prima gli zeri di $f'(x)$.
Se $f'(x) = log|x-1| + 2x -3$, allora $f'(x) = 0$ se $log|x-1| + 2x -3=0$; cioè $log|x-1|=3-2x$ e $|x-1|=e^(3-2x)$.
Gli zeri corrispondono alle intersezioni tra $g(x) = |x-1|$ e $h(x)=e^(3-2x)=(e^3)/e^(2x)$. Queste due funzioni sono abbastanza semplici da studiare e si trova che i loro grafici si intersecano per $x=\bar x ~= 1.7$.
Per il segno, $f'(x)>0$ dove $g(x)>h(x)$ e cioè per $x>\bar x$ e $<0$ per $x<\bar x$, ma $x!=1$.
Se $f'(x) = log|x-1| + 2x -3$, allora $f'(x) = 0$ se $log|x-1| + 2x -3=0$; cioè $log|x-1|=3-2x$ e $|x-1|=e^(3-2x)$.
Gli zeri corrispondono alle intersezioni tra $g(x) = |x-1|$ e $h(x)=e^(3-2x)=(e^3)/e^(2x)$. Queste due funzioni sono abbastanza semplici da studiare e si trova che i loro grafici si intersecano per $x=\bar x ~= 1.7$.
Per il segno, $f'(x)>0$ dove $g(x)>h(x)$ e cioè per $x>\bar x$ e $<0$ per $x<\bar x$, ma $x!=1$.
Innanzi tutto grazie, ma vorrei solo sapere come hai fatto a trovare quel valore di circa 1,7.
Se studi sommariamente le funzioni $g(x)$ e $h(x)$ e ne disegni i grafici, ti accorgi che l'intersezione avviene fra la $h(x)$ e il ramo della $g(x)$ rappresentato dalla semiretta $y=x-1$ (con $x>1$). Inoltre $g(3/2)=1/2h(2)=1/e$. Quindi le curve si intersecano fra $x=3/2$ e $x=2$.
Cioè o vado a tentativi o con la risoluzione grafica?
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