Studio del segno derivata composta

[cristian.vitali.102]

ciao a tutti,
sto studiando una funzione la quale ha per derivata: $f'(x)=((x+1)log(x/(x+1))+2)/(2sqrt(x)(x+1))$

ora vorrei capire in quali intervalli la funzione cresce o decresce studiando il segno della derivata.

pongo numeratore e denominatore maggiori di zero:

$(x+1)log(x/(x+1))+2>0 -> (x+1)log(x/(x+1))> -2 $

$2sqrt(x)(x+1)>0$ $->$ $x>=0$


non capisco come trovare gli intervalli nei quali il numeratore è positivo...

[Bremen000]

Ciao, direi che una soluzione "bella" ce la scordiamo.

Osserviamo innanzitutto che $\lim_{x \to 0^{+}} ((x+1)\log(\frac{x}{x+1}) + 2) = -\infty $ e $\lim_{x \to +\infty} ((x+1)\log(\frac{x}{x+1}) + 2) = 1^{-} $.

Io ho provato a riscrivere la disequazione così:

$
(x+1)\log(\frac{x}{x+1}) + 2 > 0 \qquad \Rightarrow \qquad \log((\frac{x}{x+1})^{x} \frac{e^2x}{x+1})>0 \qquad \Rightarrow \qquad (\frac{x}{x+1})^{x+1} > \frac{1}{e^2} $

quindi

$
(1-\frac{1}{x+1})^{-(x+1)} $

Adesso, la curva a sinistra tende per $ x \to +\infty $ a $e$ da sopra ed è strettamente decrescente (se guardi è il limite fondamentale che ci dà proprio $e$ però essendoci il meno ci tende da sopra e non da sotto). Quindi quelle due curve hanno uno e un solo punto di intersezione.

Tornando alla disequazione di partenza puoi provare qualche valore, con $1$ ad esempio e ti viene $2(1-\log(2))>0$.
Allora il nostro zero è compreso strettamente tra $0$ e $1$, informazione che mi pare sufficiente per fare uno studio di funzione decente!!

Il valore "esatto" è 0.25500097....

Ciao!