Studio del segno della derivata
Buongiorno sto cercando qualche suggerimento per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione
$ F(x)= e^(-x^2)ln(1+x^2) $ [inline][/inline]
Il dominio è tutto R
La funzione è pari quindi la studio per x>0
La funzione passa nel punto 0.
Il limite (a +infinito) risulta 0.
$F'(x) =-(2xe^(-x^2)((x^2+1)ln(x^2+1)-1))/(x^2+1)$ [inline][/inline]
Pongo la derivata >=0
Noto che il denominatore è sempre positivo. Da qui nascono i problemi. Non riesco a studiare il segno.
$ F(x)= e^(-x^2)ln(1+x^2) $ [inline][/inline]
Il dominio è tutto R
La funzione è pari quindi la studio per x>0
La funzione passa nel punto 0.
Il limite (a +infinito) risulta 0.
$F'(x) =-(2xe^(-x^2)((x^2+1)ln(x^2+1)-1))/(x^2+1)$ [inline][/inline]
Pongo la derivata >=0
Noto che il denominatore è sempre positivo. Da qui nascono i problemi. Non riesco a studiare il segno.
Risposte
Ciao! Il segno del numeratore è dato, avendo ristretto lo studio a $x \geq 0$ per parità, esclusivamente dal segno di $(x^2+1)\log(1+x^2)-1$; tuttavia la disequazione $(x^2+1)\log(1+x^2)-1 \geq 0$ non si risolve esplicitamente, in quanto è una disequazione trascendente.
Perciò il consiglio è quello di porre $f(x):=(x^2+1)\log(1+x^2)-1$ e avviare uno studio di funzione separato per $f$, per vedere se riesci a trarre informazioni sufficienti per quello che ti serve sapere riguardo al numeratore di $F'$.
Perciò il consiglio è quello di porre $f(x):=(x^2+1)\log(1+x^2)-1$ e avviare uno studio di funzione separato per $f$, per vedere se riesci a trarre informazioni sufficienti per quello che ti serve sapere riguardo al numeratore di $F'$.
Grazie mille, mettendola su questo piano il termine (x^2+1) con x>0 è comunque positivo quindi il segno non si ridurrebbe alla disequazione log(1+x^2)-1?
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