Studio del segno

[Giorgia2607]

Ciao a tutti!
Data la seguente funzione: \( f(x)= x+\surd (x^2-1) \)
devo dire se la funzione è positiva

Ho provato a risolverlo così:

D:{x$<=$-1 v x$>=$1}
Studio il segno della funzione:
\(\begin{cases} x^2-1>=0 \\ -x>=0 \\ \surd (x^2-1)>=-x \end{cases} \) v \(\begin{cases} x^2-1>=0 \\ -x<=0 \\ \end{cases} \)

Risolvendo i sistemi ottengo che la soluzione del primo sistema è nessun x \( \in \) R mentre quella del secondo sistema è x$>=$1 a questo punto dovrei unire le due soluzioni per capire se la funzione è positiva, ma come si uniscono???

[gio73]

Ciao giorgia
il mio consiglio è di pensare nel modo più semplice possibile
Quando $x>=1$ la nostra funzione è senz'altro positiva perchè il primo addendo, $x$, è positivo e il secondo $sqrt(x^2-1)$ pure, lui è sempre positivo anche quando $x<=-1$

vediamo cosa succede quando $x<=-1$, dobbiamo fare in modo che il primo addendo $x$ che è negativo, sia minore in valore assoluto del secondo $sqrt(x^2-1)$, visto che ci interessano i valori assoluti possiamo dire che il quadrato del primo $x^2$ deve essere minore del quadrato del secondo $x^2-1$ cioè
$x^2 direi che possiamo tranquillamente concludere che non capita mai sicchè rispondiamo alla nostra domanda iniziale

$f(x)>0$ sempre per $x>=1$, mai per $x<=-1$

ti convince?

[Giorgia2607]

"gio73":Ciao giorgia
il mio consiglio è di pensare nel modo più semplice possibile
Quando $x>=1$ la nostra funzione è senz'altro positiva perchè il primo addendo, $x$, è positivo e il secondo $sqrt(x^2-1)$ pure, lui è sempre positivo anche quando $x<=-1$

vediamo cosa succede quando $x<=-1$, dobbiamo fare in modo che il primo addendo $x$ che è negativo, sia minore in valore assoluto del secondo $sqrt(x^2-1)$, visto che ci interessano i valori assoluti possiamo dire che il quadrato del primo $x^2$ deve essere minore del quadrato del secondo $x^2-1$ cioè
$x^2 direi che possiamo tranquillamente concludere che non capita mai sicchè rispondiamo alla nostra domanda iniziale

$f(x)>0$ sempre per $x>=1$, mai per $x<=-1$

ti convince?

Ciao, grazie per aver risposto.
Adesso ho capito! Ma risolverlo con lo studio del segno è sbagliato?