Studio del punto all'infinito
Ciao a tutti
Ho un dubbio su un esercizio che chiede di studiare le singolarità sul piano complesso esteso della funzione
$$f(z)=\frac{z^2-\frac{\pi^2}{4}}{\cos(z)}$$
Attraverso vari passaggi, sono arrivato a scrivere lo sviluppo di Laurent centrato in $z=z_k=\pi(1/2+k), k\inZZ$:
$$f(z)=(-1)^{k+1}(z-z_{-1})(z-z_0)\bigg[\frac{1}{z-z_k}+\frac{z-z_k}{3!}+...\bigg]$$
Per cui i punti $z_k$ sono poli semplici, eccezion fatta per $k=0,-1$, che sono singolarità eliminabili.
Il dubbio viene adesso:
per studiare il punto all'infinito, cosa dovrei fare esattamente?
Ho pensato fosse il caso di studiare $f(1/\zeta)$ per $\zeta\to0$. In tal caso, il coseno si annulla per $\zeta=\zeta_k=\frac{1}{\pi(1/2+k)}$. Ma $\lim_{k\to\infty}\zeta_k=0$, e pertanto il punto $\zeta=0$ non è una singolarità isolata, ma un punto di accumulazione di singolarità. Ma che tipo di singolarità?? Per capirlo dovrei sviluppare in serie di Laurent la funzione intorno a infinito? Oppure c'è un modo più rapido per dirlo, avendo già fatto lo sviluppo al finito? A naso verrebbe da dire che si tratta di poli semplici (e infatti questo è riportato nella soluzione), visto che al finito i punti $z_k=1/\zeta_k$ sono poli semplici, ma non riesco bene a figurarmelo. Tra l'altro non sono riuscito nemmeno a fare tale sviluppo all'infinito. Potreste aiutarmi?
Grazie
Andrea
Ho un dubbio su un esercizio che chiede di studiare le singolarità sul piano complesso esteso della funzione
$$f(z)=\frac{z^2-\frac{\pi^2}{4}}{\cos(z)}$$
Attraverso vari passaggi, sono arrivato a scrivere lo sviluppo di Laurent centrato in $z=z_k=\pi(1/2+k), k\inZZ$:
$$f(z)=(-1)^{k+1}(z-z_{-1})(z-z_0)\bigg[\frac{1}{z-z_k}+\frac{z-z_k}{3!}+...\bigg]$$
Per cui i punti $z_k$ sono poli semplici, eccezion fatta per $k=0,-1$, che sono singolarità eliminabili.
Il dubbio viene adesso:
per studiare il punto all'infinito, cosa dovrei fare esattamente?
Ho pensato fosse il caso di studiare $f(1/\zeta)$ per $\zeta\to0$. In tal caso, il coseno si annulla per $\zeta=\zeta_k=\frac{1}{\pi(1/2+k)}$. Ma $\lim_{k\to\infty}\zeta_k=0$, e pertanto il punto $\zeta=0$ non è una singolarità isolata, ma un punto di accumulazione di singolarità. Ma che tipo di singolarità?? Per capirlo dovrei sviluppare in serie di Laurent la funzione intorno a infinito? Oppure c'è un modo più rapido per dirlo, avendo già fatto lo sviluppo al finito? A naso verrebbe da dire che si tratta di poli semplici (e infatti questo è riportato nella soluzione), visto che al finito i punti $z_k=1/\zeta_k$ sono poli semplici, ma non riesco bene a figurarmelo. Tra l'altro non sono riuscito nemmeno a fare tale sviluppo all'infinito. Potreste aiutarmi?
Grazie
Andrea
Risposte
Hai già notato che $\infty$ è un accumulazione di singolarità, quindi esso è una singolarità non classificabile (infatti, le uniche singolarità che vengono classificate sono quelle isolate).
Ciao,
innanzitutto grazie della risposta.
Partendo dal fatto che lo zero è un punto di accumulazione di singolarità, io volevo chiedere che tipo di singolarità si accumulano intorno a tale punto, e non che tipo di singolarità è lo zero (che si classifica, come tu dici, semplicemente come singolarità non isolata). Sulla soluzione dell'esercizio è riportato che è un punto di accumulazione di poli semplici.
innanzitutto grazie della risposta.
Partendo dal fatto che lo zero è un punto di accumulazione di singolarità, io volevo chiedere che tipo di singolarità si accumulano intorno a tale punto, e non che tipo di singolarità è lo zero (che si classifica, come tu dici, semplicemente come singolarità non isolata). Sulla soluzione dell'esercizio è riportato che è un punto di accumulazione di poli semplici.
Scusa, ma se \(f(z)\) ha poli d'ordine \(1\) in $z_k$, è del tutto ovvio che \(g(\zeta) = f(\frac{1}{\zeta})\) ha dei poli semplici in \(\zeta_k = \frac{1}{z_k}\)... 
"gugo82":
Scusa, ma se \(f(z)\) ha poli d'ordine \(1\) in $z_k$, è del tutto ovvio che \(g(\zeta) = f(\frac{1}{\zeta})\) ha dei poli semplici in \(\zeta_k = \frac{1}{z_k}\)...
In effetti hai ragione
Grazie
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