Studio del limite al variare del parametro

[marko89-votailprof]

Devo studiare il seguente limite al variare del parametro reale $ a geq 0 $

$ lim_(x -> 0) 5^(6ax+2x) / (9|3x|^3+5log(1+(9+5a)x)) $
comincio con a=0, il limite diventa
$ lim_(x -> 0) 5^(2x) / (9|3x|^3+5log(1+9x)) $ chi diventa poi una forma indeterminata.
E' giusto dire che il limite è ugauale a $ pm $ perchè si considera solo il logaritmo e quindi per le x che tendono a 0 è uguale a $ pm $ infinito?

[marko89-votailprof]

scusate volevo scrivere a $ pm $ infinito

[mgiaff]

Scusa ma a che ti serve studiare il caso $ a = 0 $?

Io lo risolverei così:
$lim_(x->0) (5^(6ax+2x))/(9 |3 x|^3+5 log(1 + (9+5a) x))$
Sfrutti la relazione di asintotico $ log(1 + \epsilon_n ) ~ \epsilon_n $ per $ \epsilon_n -> 0 $, dove nel tuo caso $ \epsilon_n = (9+5a)x $
$lim_(x->0) (5^(6ax+2x))/(9 |3 x|^3+5 (9+5a) x)$
A questo punto, a denominatore hai che $9|3x|^3 $ è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a $5(9+5a)x$, e quindi hai: $9 |3 x|^3+5 (9+5a) x = 5 (9+5a) x +o(x) $ per $x -> 0$, che si traduce in:
$lim_(x->0) (5^(6ax+2x))/(5 (9+5a) x) = lim_(x->0) (5^((3a+1)2x))/(5 (9+5a) x)$
Il numeratore tende ad $1$ e il denominatore tende a $0$, quindi:
$lim_(x->0) (5^((3a+1)2x))/(5 (9+5a) x) = oo$ e questo vale $ AA a >= 0 $

Edit: Addirittura, se il mio svolgimento è corretto, questo dovrebbe valere $AA a in RR $

[dissonance]

"marko89": per le x che tendono a 0 è uguale a $ pm $ infinito?

Questo è sicuramente sbagliato. Che significa che il limite è uguale a $+-infty$ ? O dici che è $+infty$ oppure che è $-infty$, non puoi tenere il piede in due scarpe.

[marko89-votailprof]

grazie mille!!