Studio del dominio modulo di un logaritmo

[simonalai_]

Buongiorno a tutti.
Devo calcolare l'insieme di definizione e l'insieme di derivabilità della seguente funzione:
$ f(x)= |log(2x^2-3x+1)| $

Per la condizione del logaritmo, imposto l'argomento maggiore di zero e trovo:
$ D: x<1/2 , x>1 $

Non riesco a capire perché, oltre a questa condizione, il libro riporta anche:
$ x<=0, x>= 3/2 $

[marco2132k]

Ciao. Tieni presente che il logaritmo è per definizione l'inversa dell'esponenziale reale a base (positiva e) non unitaria; come ti è più che ben noto, questa è una funzione \( \mathbb{R}\to\mathbb{R}_{>0} \). Devi controllare che nella composizione[nota]Intendo \( \log:=\log_e \) ovviamente, ma poco cambia se consideri una base diversa bella.[/nota] \( \log\circ f \), il dominio di \( f \) sia \( \mathbb{R}_{>0} \), a.k.a. trovare per quali \(x\in\mathbb{R}\), \( f(x)>0 \). Se così non fosse, dovresti restringere: un motivo valido per determinare questi valori. Ciò che hai scritto tu è corretto.

Però... dove la composizione di funzioni è anche derivabile? La derivata di \( \lvert{\cdot}\rvert \) esiste in tutto il campo reale oppure no? Se invece della funzione che hai riportato tu, avessi avuto solo \(\log(2x^2+\dots)\)?

[pilloeffe]

Ciao simonalai,

Per definizione di modulo o valore assoluto si ha:

$ f(x) = |log(2x^2-3x+1)| := {(log(2x^2-3x+1) \qquad \text{se} \qquad log(2x^2-3x+1) \ge 0),(- log(2x^2-3x+1) \qquad \text{se} \qquad log(2x^2-3x+1) < 0):} $

Quindi devi risolvere le due disequazioni logaritmiche, osservando che $0 = log 1 $.

"simonalai":[...] e l'insieme di derivabilità della seguente funzione:

Tieni conto che derivando la funzione logaritmo si ha:

$d/(dx) ln[h(x)] = \frac{h'(x)}{h(x)} $