Studio del dominio di una funzione
Salve a tutti,
ho un problema con lo studio del dominio di questa funzione $ f(x)=root(2)( 1/2-1/lnx) $
Il risultato deve essere $ (0,1) uu [e^{2} ,+oo ) $
Le condizioni che pongo sono $ 1/2-1/ln x>=0 $ , $ lnx != 0 $ e $ x >0 $ ed ottengo $ x>=e^{2} $ , $ x != 1 $ e $ x >0 $
Analizzando i segni ottengo $ (-oo,1) uu [e^{2} ,+oo ) $ che è un risultato sbagliato...ma non riesco a capire dove sbaglio.
Grazie per l'eventuale aiuto.
Ciao.
ho un problema con lo studio del dominio di questa funzione $ f(x)=root(2)( 1/2-1/lnx) $
Il risultato deve essere $ (0,1) uu [e^{2} ,+oo ) $
Le condizioni che pongo sono $ 1/2-1/ln x>=0 $ , $ lnx != 0 $ e $ x >0 $ ed ottengo $ x>=e^{2} $ , $ x != 1 $ e $ x >0 $
Analizzando i segni ottengo $ (-oo,1) uu [e^{2} ,+oo ) $ che è un risultato sbagliato...ma non riesco a capire dove sbaglio.
Grazie per l'eventuale aiuto.
Ciao.
Risposte
Non mi risulta che l'argomento del logaritmo possa essere negativo (e lo scrivi anche). Devi mettere a sistema, non analizzare i segni 
Mettendo a sistema non capisco come fà la funzione ad esistere in (0,1).
Puoi darmi una dritta?.
Ciao e grazie.
Puoi darmi una dritta?.
Ciao e grazie.
Le condizioni di esistenza sono tre:
1) Hai una radice, pertanto va posto il radicando $>=0$ cioè: $(1/2 - 1/(lnx))>=0$.
2) Al denominatore di una frazione non puoi avere $0$, per cui $lnx!=0$, dal momento che $lnx$ si trova al denominatore di una frazione.
3) L'argomento del logaritmo deve essere $>0$, pertanto: $x>0$
Il sistema sarà:
$ { ((1/2 - 1/(lnx))>=0 ),(lnx!=0 ),(x>0 ):} $
1) Hai una radice, pertanto va posto il radicando $>=0$ cioè: $(1/2 - 1/(lnx))>=0$.
2) Al denominatore di una frazione non puoi avere $0$, per cui $lnx!=0$, dal momento che $lnx$ si trova al denominatore di una frazione.
3) L'argomento del logaritmo deve essere $>0$, pertanto: $x>0$
Il sistema sarà:
$ { ((1/2 - 1/(lnx))>=0 ),(lnx!=0 ),(x>0 ):} $
Secondo me hai sbagliato a risolvere la prima disequazione. Siccome è fratta bisogna studiare il segno del numeratore e quello del denominatore, e facendo il grafico dei segni oltre alle soluzioni trovate da te ottieni anche l'intervallo x < 1
guarda che non l'ha risolta la disequazione, l'ha solo scritta
il fatto che ci sia un sistema è per sottolineare che quelle tre condizioni devono valere contemporaneamente
non devi fare una regola dei segni o che, ma trovare tre condizioni e intersecarle
poi la disequazione è ancora da fare.
il fatto che ci sia un sistema è per sottolineare che quelle tre condizioni devono valere contemporaneamente
non devi fare una regola dei segni o che, ma trovare tre condizioni e intersecarle
poi la disequazione è ancora da fare.
________|0________|1_______| $ e^{2} $ _______
_________ 1° Cond. $ e^{2} $
___________________________ 2° Cond. x>0
3° Cond $ x != 1 $
E' sicuramente colpa mia ma non capisco come esce fuori (0,1) nel dominio di esistenza.
_________ 1° Cond. $ e^{2} $
___________________________ 2° Cond. x>0
3° Cond $ x != 1 $
E' sicuramente colpa mia ma non capisco come esce fuori (0,1) nel dominio di esistenza.
Scusate per lo schema ma mi ha scombinato le condizioni.
Dal disegno non si capisce granché. Scrivi in maniera più esplicita come hai risolto la prima disequazione.
$ 1/2-1/ln x>=0 ---->1/2>=1/ln x--->ln x>=2---->x>=e^{2} $
La prima disequazione l'ho risolta cosi.
Per il resto ho da $ ln x != 0 $ la condizione $ x != 1 $
ed infine x>0
Ma comunque quando le combino l' intervallo (0,1) mi rimane fuori.
Grazie per l'aiuto.
La prima disequazione l'ho risolta cosi.
Per il resto ho da $ ln x != 0 $ la condizione $ x != 1 $
ed infine x>0
Ma comunque quando le combino l' intervallo (0,1) mi rimane fuori.
Grazie per l'aiuto.
Non puoi così alla leggera portare [tex]\log x[/tex] a numeratore lasciando lo stesso segno della disequazione in quanto, a seconda del valore di [tex]x[/tex], esso può essere sia positivo che negativo.
In pratica, hai
[tex]\log x\geq 2[/tex] se [tex]x\geq 1[/tex]
Ma cosa succede se [tex]0\leq x \leq 1[/tex]?
In pratica, hai
[tex]\log x\geq 2[/tex] se [tex]x\geq 1[/tex]
Ma cosa succede se [tex]0\leq x \leq 1[/tex]?
"K.Lomax":
[tex]\log x\geq 2[/tex] se [tex]x\geq 1[/tex]
Volevi dire [tex]\log x\geq 0[/tex] se [tex]x\geq 1[/tex]
No, intendevo dire che quella diseguaglianza vale per [tex]x\geq 1[/tex]. In altri termini:
[tex]\begin{cases}
\log x \geq 2\\
x\geq 1
\end{cases}[/tex]
E poi c'è l'altro caso.
[tex]\begin{cases}
\log x \geq 2\\
x\geq 1
\end{cases}[/tex]
E poi c'è l'altro caso.
Analizzando la disequazione $ 1/2-1/ln x>=0 $ si vede che nell'intervallo (0,1) il logaritmo assumendo valori negativi rende la frazione positiva e quindi soddisfa la diseq. ,ma quando poi vado a portare in calcoli il ragionamento mi perdo...sbagliando!.
Se la base del logaritmo è >1 e la diseq. è lnx>a la soluzione dovrebbe essere x> $ e^{a} $ mentre se fosse lnx Ciao.
Se la base del logaritmo è >1 e la diseq. è lnx>a la soluzione dovrebbe essere x> $ e^{a} $ mentre se fosse lnx Ciao.
Lascia stare la base del logaritmo che è [tex]e[/tex] e quindi stai tranquillo. Non voglio dirti la soluzione ma voglio che ci arrivi. Partendo dalla disequazione
[tex]\frac{1}{2}-\frac{1}{\log x}\geq 0[/tex]
questa diventa
[tex]\frac{\log x-2}{2\log x}\geq 0[/tex]
Adesso, questa è verificata quando sia il numeratore che il denominatore o sono positivi o sono negativi.
[tex]\frac{1}{2}-\frac{1}{\log x}\geq 0[/tex]
questa diventa
[tex]\frac{\log x-2}{2\log x}\geq 0[/tex]
Adesso, questa è verificata quando sia il numeratore che il denominatore o sono positivi o sono negativi.
Adesso forse ci sono...la disequazione $ (ln x-2)/(2lnx) >= 0 $ è soddisfatta se:
- numeratore e denominatore sono positivi e in questo caso l' insieme è $ [e^{2} ,+oo ) $
- numeratore e denominatore sono negativi e in questo caso l'insieme è $ (0 ,1 ) $ perchè abbiamo le condizioni $ x0 $.
Ok ero stato troppo avventato nell'operare sul logaritmo.
Grazie tanto e ciao.
- numeratore e denominatore sono positivi e in questo caso l' insieme è $ [e^{2} ,+oo ) $
- numeratore e denominatore sono negativi e in questo caso l'insieme è $ (0 ,1 ) $ perchè abbiamo le condizioni $ x
Ok ero stato troppo avventato nell'operare sul logaritmo.
Grazie tanto e ciao.
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