Studio del comportamento di una serie oscillante
Data una serie oscillante, solitamente mi viene richiesto di saperne il comportamento e di dire se è o no assolutamente convergente. Finchè ho avuto a che fare con serie (-1)^n me la sono saputa cavare, ma quando trovo (-1)^n-1 che devo fare?? 
Ad esempio come dovrei studiare il comportamento di questa serie? Devo spezzarla tra n=1 e 1 e poi studiarla tra 2 e infinito?
Potreste spiegarmi come affrontare l'esercizio passo passo? [tex]\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}[/tex] [tex]\displaystyle \frac{1}{\ln{(n+1)}}[/tex]
Ps. finalmente sono riuscita, dopo innumerevoli tentativi, a scrivere la formula
Ad esempio come dovrei studiare il comportamento di questa serie? Devo spezzarla tra n=1 e 1 e poi studiarla tra 2 e infinito? Potreste spiegarmi come affrontare l'esercizio passo passo? [tex]\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}[/tex] [tex]\displaystyle \frac{1}{\ln{(n+1)}}[/tex]
Ps. finalmente sono riuscita, dopo innumerevoli tentativi, a scrivere la formula
Risposte
Serie oscillante=serie a termini di segno alterno. Pertanto puoi procedere facendo due considerazioni:
1) provi a studiare la serie dei valori assoluti, nel tuo caso questa $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{|\ln(n+1)|}$ e determini se converge, nel qual caso la serie di partenza converge assolutamente;
2) se la cosa precedente non funziona (non hai convergenza, provi ad applicare il Teorema di Leibniz, il quale afferma quanto segue:
Data la serie $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$, con $a_n\ge 0$, se si verificano le due condizioni seguenti
i) $\lim_{n\to+\infty} a_n=0$
ii) $a_{n+1}< a_n$ per ogni $n\ge n_0$ fissato
allora la serie converge.
1) provi a studiare la serie dei valori assoluti, nel tuo caso questa $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{|\ln(n+1)|}$ e determini se converge, nel qual caso la serie di partenza converge assolutamente;
2) se la cosa precedente non funziona (non hai convergenza, provi ad applicare il Teorema di Leibniz, il quale afferma quanto segue:
Data la serie $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$, con $a_n\ge 0$, se si verificano le due condizioni seguenti
i) $\lim_{n\to+\infty} a_n=0$
ii) $a_{n+1}< a_n$ per ogni $n\ge n_0$ fissato
allora la serie converge.
Quindi si studia come una normalissima serie che presenta (-1)^n? non devo distinguere cosa succede per n=1?
E perché di grazia?
Mi avevano suggerito questa cosa, ma non ne capivo nemmeno io il motivo. In pratica mi sono allarmata per nulla, meglio così 
Grazie!!
Invece se posso approfittare dell'aiuto...sempre riguardo le serie, se adottando il criterio del confronto (in serie a termini positivi ovviamente), la serie proposta nell'esercizio ad esempio va da n=3 a infinito , e quella nota, presa per fare il confronto, va da n=1 a infinito, devo fare considerazioni particolari in merito agli indici differenti o procedo sempre normalmente?
Grazie!!Invece se posso approfittare dell'aiuto...sempre riguardo le serie, se adottando il criterio del confronto (in serie a termini positivi ovviamente), la serie proposta nell'esercizio ad esempio va da n=3 a infinito , e quella nota, presa per fare il confronto, va da n=1 a infinito, devo fare considerazioni particolari in merito agli indici differenti o procedo sempre normalmente?
Il criterio del confronto ti assicura che se da un certo $n_0$ in poi le due serie si possono confrontare, allora si comportano nello stesso modo. Qual è il senso? Supponiamo che, come dici tu, la tua serie parta da un certo $n_0$ e che tu sappia che $a_n$ si confronta con un certo $b_n$ di una serie che, ad esempio, parte da $n=0$ e della quale conosci il carattere. Allora puoi ragionare così
$$\sum_{n=n_0}^\infty a_n=\sum_{n=0} a_n-\sum_{n=0}^{n_0-1} a_n$$
Ora, osserva che il problema della convergenza ti è dato solo dalla somma infinita: la seconda (quella dopo il meno) è composta da un numero finito di termini ($n_0$ potrebbe essere anche pari a $10^{100}$, ma sempre un numero finito di termini sono) e pertanto, sicuramente, quella roba ha come somma un valore finito (di nuovo, potrebbe essere enorme, ma ti importa poco). Pertanto l'unica accortezza nell'applicare il confronto, è quello di specificare se esso valga per tutti gli $n$ o solo da un certo valore in poi.
$$\sum_{n=n_0}^\infty a_n=\sum_{n=0} a_n-\sum_{n=0}^{n_0-1} a_n$$
Ora, osserva che il problema della convergenza ti è dato solo dalla somma infinita: la seconda (quella dopo il meno) è composta da un numero finito di termini ($n_0$ potrebbe essere anche pari a $10^{100}$, ma sempre un numero finito di termini sono) e pertanto, sicuramente, quella roba ha come somma un valore finito (di nuovo, potrebbe essere enorme, ma ti importa poco). Pertanto l'unica accortezza nell'applicare il confronto, è quello di specificare se esso valga per tutti gli $n$ o solo da un certo valore in poi.
Dunque se ad esempio volessi fare il confronto asintotico tra: [tex]a_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}[/tex][tex]\displaystyle \frac{1}{|ln(n+1)|}[/tex] e [tex]b_n=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}[/tex][tex]\displaystyle \frac{1}{|ln(n)|}[/tex] (purtroppo mi sono trovata il caso esattamente opposto alla domanda fatta) il confronto si può fare? se si, che cosa devo fare di diverso rispetto al confronto ordinario tra serie con indici uguali? Basandomi su quanto è stato scritto prima dovrei considerare: \[ \sum_{2=1}^\infty a_n=\sum_{n=2} a_n-\sum_{n=2}^{1-1} a_n \] magari mi sto confondendo per una sciocchezza, ma non riesco a capire come proseguire
Stai facendo un giro che non ti porta da nessuna parte: le due serie (che indicare con $a_n$ e $b_n$ è sbagliato) sono identiche, in quanto entrambe assumono questa forma
$$\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}+\ldots$$
Per cui no è che tu stia facendo chissà che confronto. In ogni caso, come ti dicevo, non hai bisogno di fare strane considerazioni: l'importante è che tu ricordi che i criteri di confronto tra due serie $\sum_{n=n_0}^\infty a_n,\ \sum_{n=m_0} b_n$ valgono prendendo un $N_0$ fissato (che potrebbe differire sia da $n_0$ che da $m_0$) e i termini precedenti, per quanti possano essere, non influiscono sul carattere della serie stessa.
$$\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}+\ldots$$
Per cui no è che tu stia facendo chissà che confronto. In ogni caso, come ti dicevo, non hai bisogno di fare strane considerazioni: l'importante è che tu ricordi che i criteri di confronto tra due serie $\sum_{n=n_0}^\infty a_n,\ \sum_{n=m_0} b_n$ valgono prendendo un $N_0$ fissato (che potrebbe differire sia da $n_0$ che da $m_0$) e i termini precedenti, per quanti possano essere, non influiscono sul carattere della serie stessa.
Mi spiace non aver più risposto, ma ho avuto problemi con la connessione...Comunque ancora grazie, adesso ho capito!! 
"ciampax":
Serie oscillante=serie a termini di segno alterno. ...
Su wikipedia ce scritto che una serie oscillante è tale quando il limite della somma parziale non esiste.
Qual'è la definizione giusta?
Infatti l'uguale era per dire "più correttamente".
La serie oscillante è una serie con somma parziale non definita (bene) e quindi con carattere indefinito.
La serie oscillante è una serie con somma parziale non definita (bene) e quindi con carattere indefinito.
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