Studio del comportamento di una serie

[lezan]

Come da oggetto, devo studiare il comportamento di questa serie:

[tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty } \log \left ( 1 + e^{-nk} \right)[/tex]

Con k parametro reale strettamente maggiore di zero ( k > 0).

Io ho pensato di applicare il criterio del rapporto, perché a prima impatto sembrava risolutivo.
Quindi,

[tex]\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty }[/tex] $ a_(n + 1) / a_n =

= [tex]\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty }[/tex] $ (log(1+e^{-k(n+1)})/log(1+e^-{nk}) $ =
= [tex]\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty }[/tex] $ (log(1+e^{-k(n+1)}-1-e^-{nk}) $ =
= [tex]\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty }[/tex] $ (log(e^{-kn}*e^-k-e^-{nk}) $ =
= [tex]\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty }[/tex] $ (log(e^{-kn}*(e^-k-1)) $ =

A questo punto cosa potrei fare? Non riesco più ad andare avanti. Ho provato con qualche proprietà delle potenze, ma senza risultati.

Che ne dite?

Ciao e grazie per le eventuali risposte

[clrscr]

Mi sembra di capire che $log(a)/log(b)=log(a-b)$.......

[lezan]

Direi che ho sbagliato la proprietà dei logaritmi

La rifaccio e poi eventualmente posto di nuovo.

Grazie.