Studio del carattere serie
Ciao ragazzi! Stavo cercando di studiare il carattere della seguente serie, ma non ho idea di come fare...
La serie va da 1 a + infinito ed è la seguente:
Grazie mille in anticipo a chi vorrà aiutarmi!
La serie va da 1 a + infinito ed è la seguente:
Grazie mille in anticipo a chi vorrà aiutarmi!
Risposte
se la serie è a termini positivi, puoi considerarne il comporamento asintotico, ad esempio
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{6^{-n}+\sqrt{n^2+2n+2}}{\sin(n!)+8^{-n}+\ln(8^n+1)}
\end{align}
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{6^{-n}+\sqrt{n^2+2n+2}}{\sin(n!)+8^{-n}+\ln(8^n+1)}
\end{align}
Grazie per avermi risposto. Potresti dirmi con quale serie potrei confrontare la mia serie di partenza per poter applicare il criterio del confronto asintotico? Grazie mille in anticipo!
Come detto, per poter applicare un confronto, asintotico, bisogna assicurasi che la serie si aa termini positiv, lo è?
I termini della serie sono tutti positivi ad eccezione del sin(n!) che non è sempre positivo... Dato che però il valore del sin è sempre compreso fra -1 e 1 posso anche non considerarlo ai fini del segno della serie... Quindi, direi che è a termini positivi... Oppure, non ho capito nulla?
ok ok è a termini positivi; poi c' è da controllare se almeno sussiste la condizione necessaria di convergenza, cioè se
\begin{align} \lim_{n\to+\infty}\frac{6^{-n}+\sqrt{n^2+2n+2}}{\sin(n!)+8^{-n}+\ln(8^n+1)}\to0 \end{align}
\begin{align} \lim_{n\to+\infty}\frac{6^{-n}+\sqrt{n^2+2n+2}}{\sin(n!)+8^{-n}+\ln(8^n+1)}\to0 \end{align}
Io ho provato a calcolare il limite e ho fatto il seguente ragionamento:
Dato che la radice cresce più velocemente rispetto al logaritmo naturale e dato che 6^(-n) e 8^(-n) sono più o meno simili (senza considerare il sin(n!) perché è una quantità molto piccola), ho dedotto che il limite è uguale a più infinito.
È corretto come ragionamento oppure ho cannato in pieno?
Dato che la radice cresce più velocemente rispetto al logaritmo naturale e dato che 6^(-n) e 8^(-n) sono più o meno simili (senza considerare il sin(n!) perché è una quantità molto piccola), ho dedotto che il limite è uguale a più infinito.
È corretto come ragionamento oppure ho cannato in pieno?
il limite non mi sembra corretto: considerando gli ordini di infinito a numeratore e a denominatore, hai che:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{6^{-n}+\sqrt{n^2+2n+2}}{\sin(n!)+8^{-n}+\ln(8^n+1)}\sim \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{ n\ln 8 }=\frac{1}{ \ln 8 }\ne0,
\end{align}
quindi quel termine generale non è infinitesimo.
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{6^{-n}+\sqrt{n^2+2n+2}}{\sin(n!)+8^{-n}+\ln(8^n+1)}\sim \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{ n\ln 8 }=\frac{1}{ \ln 8 }\ne0,
\end{align}
quindi quel termine generale non è infinitesimo.
Grazie, in effetti hai ragione! Dato che il limite è diverso da zero e quindi la condizione necessaria di convergenza non è rispettata e dato che la serie è a termini positivi, posso direttamente concludere che la serie diverge positivamente?
Ok, perfetto! Grazie per l'aiuto!
Stavo concludendo i vari esercizi sulle serie e mi sono imbattuto in questa.
\begin{align} \sum_{n=2}^{+\infty}(\frac{n^{4}-8n^{2}}{n^{4}+1})^{n^{3}} \end{align}
Non so se sono riuscito a scriverla proprio correttamente. Il senso è che (numeratore/denominatore) è tutto elevato a n^3.
Io ho calcolato il limite per verificare la condizione necessaria di convergenza:
\begin{align} \lim_{n\to+\infty}(\frac{n^{4}-8n^{2}}{n^{4}+1})^{-n^{3}} \end{align}
Mi sono ricondotto al limite notevole in questo modo (Spero sia corretto):
\begin{align} \lim_{n\to+\infty}((1 + \frac{1}{-n^{2}})^{-n^{2}})^{-n} \end{align} da cui:
\begin{align} \lim_{n\to+\infty} e^{-n} = \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{e^{n}} = 0\end{align}
Dato che il limite tende a zero, è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza, però non posso ancora dire se converge oppure diverge. La serie è a termini positivi, quindi posso usare i vari criteri per studiarne il carattere.
Il problema è che non so proprio come procedere.
Ti sarei grato se potessi darmi un ulteriore aiuto anche con questa serie.
Grazie mile in anticipo!
Stavo concludendo i vari esercizi sulle serie e mi sono imbattuto in questa.
\begin{align} \sum_{n=2}^{+\infty}(\frac{n^{4}-8n^{2}}{n^{4}+1})^{n^{3}} \end{align}
Non so se sono riuscito a scriverla proprio correttamente. Il senso è che (numeratore/denominatore) è tutto elevato a n^3.
Io ho calcolato il limite per verificare la condizione necessaria di convergenza:
\begin{align} \lim_{n\to+\infty}(\frac{n^{4}-8n^{2}}{n^{4}+1})^{-n^{3}} \end{align}
Mi sono ricondotto al limite notevole in questo modo (Spero sia corretto):
\begin{align} \lim_{n\to+\infty}((1 + \frac{1}{-n^{2}})^{-n^{2}})^{-n} \end{align} da cui:
\begin{align} \lim_{n\to+\infty} e^{-n} = \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{e^{n}} = 0\end{align}
Dato che il limite tende a zero, è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza, però non posso ancora dire se converge oppure diverge. La serie è a termini positivi, quindi posso usare i vari criteri per studiarne il carattere.
Il problema è che non so proprio come procedere.
Ti sarei grato se potessi darmi un ulteriore aiuto anche con questa serie.
Grazie mile in anticipo!
se la serie è questa
\begin{align}
\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{n^{4}-8n^{2}}{n^{4}+1}\right)^{n^{3}}
\end{align}
come hai ben detto ha termine generale infinitesimo, e quindi la condizione necessaria è verificata e la serie potrebbbe convergere; essendo a termini positivi, puoi applicare uno dei criteri per tali serie. Direi che visto come si presenta il termine generale della serie, il criterio della radice potrebbe funzionare bene:
\begin{align}
\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{n^{4}-8n^{2}}{n^{4}+1}\right)^{n^{3}}&\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n^{4}-8n^{2}}{n^{4}+1}\right)^{n^{3}}}=\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n^{4}-8n^{2}}{n^{4}+1}\right)^{n^{2}} \\
&=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2\ln\left(\frac{n^4-8n^2}{n^4+1}\right)\right]\sim\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2 \left(\frac{n^4-8n^2}{n^4+1}-1\right)\right]\\
&=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[-\frac{8n^4}{n^4}\right]=\frac{1}{e^8}<\lambda<1\to\mbox{converge;}
\end{align}
per il criterio della radice, puoi quindi concludere che la serie converge.
\begin{align}
\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{n^{4}-8n^{2}}{n^{4}+1}\right)^{n^{3}}
\end{align}
come hai ben detto ha termine generale infinitesimo, e quindi la condizione necessaria è verificata e la serie potrebbbe convergere; essendo a termini positivi, puoi applicare uno dei criteri per tali serie. Direi che visto come si presenta il termine generale della serie, il criterio della radice potrebbe funzionare bene:
\begin{align}
\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{n^{4}-8n^{2}}{n^{4}+1}\right)^{n^{3}}&\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n^{4}-8n^{2}}{n^{4}+1}\right)^{n^{3}}}=\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n^{4}-8n^{2}}{n^{4}+1}\right)^{n^{2}} \\
&=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2\ln\left(\frac{n^4-8n^2}{n^4+1}\right)\right]\sim\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2 \left(\frac{n^4-8n^2}{n^4+1}-1\right)\right]\\
&=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[-\frac{8n^4}{n^4}\right]=\frac{1}{e^8}<\lambda<1\to\mbox{converge;}
\end{align}
per il criterio della radice, puoi quindi concludere che la serie converge.
Grazie mille ancora! C'è solo un passaggio che non mi è chiaro. Come hai fatto ad eseguire l'operazione in cui elimini il logaritmo e aggiungi il -1?
C'è solo un passaggio che non mi è chiaro. Come hai fatto ad eseguire l'operazione in cui elimini il logaritmo e aggiungi il -1?
è la stima asintotica del logaritmo: in generale hai che
\begin{align} \mbox{se per }\,\,\,x\to x_0 \qquad& f(x)\sim g(x)\,\,\,\mbox{e}\,\,\,f(x)\to 0^+\,\,\,\mbox{oppure}\,\,\,f(x)\to +\infty\\
&\Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim \ln g(x)\\\\
\mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0\end{align}
\begin{align} \mbox{se per }\,\,\,x\to x_0 \qquad& f(x)\sim g(x)\,\,\,\mbox{e}\,\,\,f(x)\to 0^+\,\,\,\mbox{oppure}\,\,\,f(x)\to +\infty\\
&\Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim \ln g(x)\\\\
\mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0\end{align}
Non ero a conoscenza di questo tipo di operazione!
Se non avessi utilizzato la stima asintotica, ci sarebbe stato un altro modo per risolverlo oppure è l'unica via?
Intanto grazie ancora, mi sei stato davvero di grande aiuto!
Se non avessi utilizzato la stima asintotica, ci sarebbe stato un altro modo per risolverlo oppure è l'unica via?
Intanto grazie ancora, mi sei stato davvero di grande aiuto!
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