Studio del carattere di una serie al variare di un parametro a
Devo studiare il carattere di questa serie al variare di $a>0$
$ sum_(n=1)^(oo)(-1)^(n+1)log(1+1/n^a) $
Io l'ho studiata cosi
Ho una seria del tipo $ sum_(n=1)^(oo)(-1)^(n+1)a_n $ con $a_n=log(1+1/n^a) >0$ quindi sono in presenza di una serie a segni alterni.
Applico il criterio di Leibnitz e devo verificare due condizioni:
1) $ lim_(n->oo)log(1+1/n^a)=0 $ e questo è verificata
2) Devo dire se $a_n$ è decrescente.
Qui uso il fatto che se $f(x)=log(1+1/x^a)$ è decrescente allora lo è anche $f(n)=a_n$. Faccio la derivata $f'(x)=-a/x^(a-1)$ e quindi è decrescente. Dunque la serie è convergente.
Va bene o ho sbagliato qualcosa?
Grazie a tutti.
$ sum_(n=1)^(oo)(-1)^(n+1)log(1+1/n^a) $
Io l'ho studiata cosi
Ho una seria del tipo $ sum_(n=1)^(oo)(-1)^(n+1)a_n $ con $a_n=log(1+1/n^a) >0$ quindi sono in presenza di una serie a segni alterni.
Applico il criterio di Leibnitz e devo verificare due condizioni:
1) $ lim_(n->oo)log(1+1/n^a)=0 $ e questo è verificata
2) Devo dire se $a_n$ è decrescente.
Qui uso il fatto che se $f(x)=log(1+1/x^a)$ è decrescente allora lo è anche $f(n)=a_n$. Faccio la derivata $f'(x)=-a/x^(a-1)$ e quindi è decrescente. Dunque la serie è convergente.
Va bene o ho sbagliato qualcosa?
Grazie a tutti.
Risposte
A parte che quella che hai scritto non è la derivata della funzione $f(x)$ (quella corretta è $f'(x)=-\frac{a}{1+x^a}$) per il resto il ragionamento va bene.
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