Studio del carattere di una serie
la serie è la seguente
$ sum_(n = 1)^(+oo )[(log(n^(5x-7))+2)/(3log(n^(2x^2+1))-5)]^(3n) $
avevo pensato al criterio dell'ordine di infinitesimo ma non so se è giusto e non saprei come procedere.
Qualcuno saprebbe darmi una mano?? inserirò poi il mio procedimento per controllare di aver fatto bene
$ sum_(n = 1)^(+oo )[(log(n^(5x-7))+2)/(3log(n^(2x^2+1))-5)]^(3n) $
avevo pensato al criterio dell'ordine di infinitesimo ma non so se è giusto e non saprei come procedere.
Qualcuno saprebbe darmi una mano?? inserirò poi il mio procedimento per controllare di aver fatto bene
Risposte
Credo sarebbe molto più saggio se inserissi PRIMA il tuo procedimento, così noi controlleremo se hai fatto bene.
E' giusto. Il problema è che non so come cominciare e per questo sono in grande difficoltà. Di solito abbiamo studiato serie del tipo $ sum_(n = 1)^(+oo )[(n^(5x-7)+9n)/(n^(4x+9)+9n^2+1)] $ (giusto per fare un esempio). In questo caso abbiamo sempre fatto un confronto tra gli esponenti di numeratore e denominatore disponendoli poi su un grafico e studiato per intervalli dove la serie diverge o converge. In questo caso la presenza dei logaritmi mi sta completamente bloccando. Mi scuso infinitamente per il disturbo e spero di essere stato chiaro nella descrizione del problema.
$ sum_(n = 1)^(+oo )[(log(n^(5x-7))+2)/(3log(n^(2x^2+1))-5)]^(3n) $
Io farei così: innanzitutto togliti dalle scatole le costanti sommate ai logaritmi, che tanto sono o-piccoli di $log(n)$ per $n->oo$. Ti resta:
$ sum_(n = 1)^(+oo )[(log(n^(5x-7)))/(3log(n^(2x^2+1)))]^(3n) $
A questo punto, basta ricordarsi che $log(a^b)=b*log(a)$. Quindi:
$ sum_(n = 1)^(+oo )[((5x-7) log(n))/(3(2x^2+1) log(n))]^(3n) = sum_(n = 1)^(+oo )[(5x-7)/(6x^2+3)]^(3n) = sum_(n = 1)^(+oo )[(5x-7)^3/(6x^2+3)^3]^(n)$
Se guardi attentamente, ti accorgi che quella ottenuta è una serie del tipo $sum_(n = 1)^(+oo) q^n$ (serie geometrica), che converge se e solo se $|q| < 1$.
Quindi, per la convergenza, ti basta porre:
$|(5x-7)^3/(6x^2+3)^3| < 1$
che è una banalissima disequazione.
$|(5x-7)^3| < |(6x^2+3)^3|$
$|(5x-7)|^3 < |(6x^2+3)|^3$
$|5x-7| < |6x^2+3|$
$|5x-7| < 6x^2+3$
Le soluzioni dovrebbero essere: $ -4/3 < x < 1/2 $
Io farei così: innanzitutto togliti dalle scatole le costanti sommate ai logaritmi, che tanto sono o-piccoli di $log(n)$ per $n->oo$. Ti resta:
$ sum_(n = 1)^(+oo )[(log(n^(5x-7)))/(3log(n^(2x^2+1)))]^(3n) $
A questo punto, basta ricordarsi che $log(a^b)=b*log(a)$. Quindi:
$ sum_(n = 1)^(+oo )[((5x-7) log(n))/(3(2x^2+1) log(n))]^(3n) = sum_(n = 1)^(+oo )[(5x-7)/(6x^2+3)]^(3n) = sum_(n = 1)^(+oo )[(5x-7)^3/(6x^2+3)^3]^(n)$
Se guardi attentamente, ti accorgi che quella ottenuta è una serie del tipo $sum_(n = 1)^(+oo) q^n$ (serie geometrica), che converge se e solo se $|q| < 1$.
Quindi, per la convergenza, ti basta porre:
$|(5x-7)^3/(6x^2+3)^3| < 1$
che è una banalissima disequazione.
$|(5x-7)^3| < |(6x^2+3)^3|$
$|(5x-7)|^3 < |(6x^2+3)|^3$
$|5x-7| < |6x^2+3|$
$|5x-7| < 6x^2+3$
Le soluzioni dovrebbero essere: $ -4/3 < x < 1/2 $
non ci avevo pensato a ricondurre a una serie geometrica. GRAZIE mille veramente
Prego figurati. Io sto per dare Analisi 1 (martedì). Aiutoooooooooooooo xD
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