Studio del carattere di una serie
la serie incriminata è la seguente(da n=7 a infinito): $(-1)^n * sin(n^2/(n^3+1))/(log(n))^7$
che approssimo a: $(-1)^n * n^2/((n^3+1)(log(n))^7)$
posso dire che converge per il criterio di cauchy
ora verifico la convergenza assoluta
$n^2/((n^3+1)(log(n))^7)$
qui però sono fermo... qualcuno mi saprebbe dare un consiglio? o evidentemente correggermi se ho sbagliato qualcosa ?
che approssimo a: $(-1)^n * n^2/((n^3+1)(log(n))^7)$
posso dire che converge per il criterio di cauchy
ora verifico la convergenza assoluta
$n^2/((n^3+1)(log(n))^7)$
qui però sono fermo... qualcuno mi saprebbe dare un consiglio? o evidentemente correggermi se ho sbagliato qualcosa ?
Risposte
Allora per prima cosa non ho capito perché approssimi in quel modo il seno visto che si approssima in quel modo quando x->0. Comunque si verifica la convergenza assoluta:
(sin((n^2)/(n^3+1))/(log(n)^n) <= 1/(log(n)^7) (Criterio del confronto)
Poiché il massimo valore raggiungibile dal seno è 1. A questo punto approssimiamo 1/(log(n)^7) a 1/n^7, cioè una serie armonica con alfa>1 che converge. Poiché l'espressione di partenza in valore assoluto è minore di una convergente, risulta essere convergente assolutamente.
Ciao!
(sin((n^2)/(n^3+1))/(log(n)^n) <= 1/(log(n)^7) (Criterio del confronto)
Poiché il massimo valore raggiungibile dal seno è 1. A questo punto approssimiamo 1/(log(n)^7) a 1/n^7, cioè una serie armonica con alfa>1 che converge. Poiché l'espressione di partenza in valore assoluto è minore di una convergente, risulta essere convergente assolutamente.
Ciao!
"influenzaobd":
Allora per prima cosa non ho capito perché approssimi in quel modo il seno visto che si approssima in quel modo quando $x->0$. Comunque si verifica la convergenza assoluta:
$sin((n^2)/(n^3+1))/(log(n)^7) <= 1/(log(n)^7)$ (Criterio del confronto)
Poiché il massimo valore raggiungibile dal seno è 1. A questo punto approssimiamo $1/(log(n)^7)$ a $1/n^7$
Curioso... Vuoi correggere (quel che secondo te è) un errore con uno sbaglio ancora più grave?
C'è qualcosa che non va nella soluzione di influezaobd, a cui consiglio di ricontrollarla 
.
Di fronte alla serie:
[tex]\displaystyle \sum_{n=7}^\infty(-1)^n \frac{\sin(\frac{n^2}{n^3+1})}{\log^7(n)}[/tex] procederei direttamente a considerare la convergenza assoluta.
[tex]a_n =(-1)^n \frac{\sin(\frac{n^2}{n^3+1})}{\log^7(n)}\implies |a_n| = \frac{\sin(\frac{n^2}{n^3+1})}{\log^7(n)}[/tex]. Ora [tex]|a_n|[/tex] si comporta asintoticamente come [tex]\frac{1}{n \log^7 (n)}[/tex]. Ora poichè la serie:
[tex]\sum_{n=7}^\infty \frac{1}{n \log^7(n)}[/tex] converge (per il criterio di condensazione di Cauchy) allora la serie di partenza converge assolutamente e dunque abbiamo assicurata anche la convergenza semplice
[Edit]: Scusami Gugo82 non ho visto la tua risposta: ci ho messo tre ore per scrivere questo messaggio
.Di fronte alla serie:
[tex]\displaystyle \sum_{n=7}^\infty(-1)^n \frac{\sin(\frac{n^2}{n^3+1})}{\log^7(n)}[/tex] procederei direttamente a considerare la convergenza assoluta.
[tex]a_n =(-1)^n \frac{\sin(\frac{n^2}{n^3+1})}{\log^7(n)}\implies |a_n| = \frac{\sin(\frac{n^2}{n^3+1})}{\log^7(n)}[/tex]. Ora [tex]|a_n|[/tex] si comporta asintoticamente come [tex]\frac{1}{n \log^7 (n)}[/tex]. Ora poichè la serie:
[tex]\sum_{n=7}^\infty \frac{1}{n \log^7(n)}[/tex] converge (per il criterio di condensazione di Cauchy) allora la serie di partenza converge assolutamente e dunque abbiamo assicurata anche la convergenza semplice
[Edit]: Scusami Gugo82 non ho visto la tua risposta: ci ho messo tre ore per scrivere questo messaggio
[OT]
Figurati Math... Capitano anche a me overlap del genere; no problemo.
[/OT]
"Mathematico":
[Edit]: Scusami Gugo82 non ho visto la tua risposta: ci ho messo tre ore per scrivere questo messaggio
Figurati Math... Capitano anche a me overlap del genere; no problemo.
[/OT]
credo di aver capito e ringrazio Mathematico per la risposta.
non ho però capito se la mia approssimazione è sbagliata o semplicemente non necessaria per questo esercizio.
voglio dire, se l'argomento del seno tende a zero allora è corretto dire che il seno tende al suo argomento. altrimenti mi crolla una certezza
non ho però capito se la mia approssimazione è sbagliata o semplicemente non necessaria per questo esercizio.
voglio dire, se l'argomento del seno tende a zero allora è corretto dire che il seno tende al suo argomento. altrimenti mi crolla una certezza
"rocksoldier":
voglio dire, se l'argomento del seno tende a zero allora è corretto dire che il seno tende al suo argomento. altrimenti mi crolla una certezza
Rimani sicuro della tua certezza, non preoccuparti.
bene
ne approfitto per ringraziare nuovamente, siete sempre gentilissimi, precisi e veloci nel rispondere.
10/10
ne approfitto per ringraziare nuovamente, siete sempre gentilissimi, precisi e veloci nel rispondere.
10/10
"Gugo82":
[quote="influenzaobd"]Allora per prima cosa non ho capito perché approssimi in quel modo il seno visto che si approssima in quel modo quando $x->0$. Comunque si verifica la convergenza assoluta:
$sin((n^2)/(n^3+1))/(log(n)^7) <= 1/(log(n)^7)$ (Criterio del confronto)
Poiché il massimo valore raggiungibile dal seno è 1. A questo punto approssimiamo $1/(log(n)^7)$ a $1/n^7$
Curioso... Vuoi correggere (quel che secondo te è) un errore con uno sbaglio ancora più grave?[/quote]
Eh si in effetti ho preso un bel abbaglio
Non riesco però a capire in che punto ho sbagliato, la mia soluzione mi sembra giusta
E' l'approssimazione che non funge... per approssimare asintoticamente $f(n)$ e $g(n)$ devi avere $f(n)/g(n) = k != 0$.
Nel tuo caso $lim_{n\rarr\infty}n^7/log(n)^7 = +\infty$ quindi non è un'approssimazione corretta, in particolare (intuitivamente) hai che $1/n^7$ è un infinitesimo di ordine (molto) più forte di $1/log(n)^7$ e comunque sicuramente non sono asintotici.
Nel tuo caso $lim_{n\rarr\infty}n^7/log(n)^7 = +\infty$ quindi non è un'approssimazione corretta, in particolare (intuitivamente) hai che $1/n^7$ è un infinitesimo di ordine (molto) più forte di $1/log(n)^7$ e comunque sicuramente non sono asintotici.
"Gatto89":
E' l'approssimazione che non funge... per approssimare asintoticamente $f(n)$ e $g(n)$ devi avere $f(n)/g(n) = k != 0$.
Nel tuo caso $lim_{n\rarr\infty}n^7/log(n)^7 = +\infty$ quindi non è un'approssimazione corretta, in particolare (intuitivamente) hai che $1/n^7$ è un infinitesimo di ordine (molto) più forte di $1/log(n)^7$ e comunque sicuramente non sono asintotici.
Giusto..dovrò riprendere urgentemente lo studio degli asintotici!
Grazie!
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