Studio del carattere di una serie
Come da titolo, devo determinare il carattere della serie numerica $sum_{n=1}^{infty} cos(arcsin(\frac{n}{n+1}))$.
Ho pensato di risolvere così: riscrivo il termine generale $a_n = cos(arcsin(\frac{n}{n+1}))$ come
$cos(arcsin(\frac{n}{n+1})) = \sqrt{1-sin^2(arcsin(\frac{n}{n+1}))} = \sqrt{1-(\frac{n}{n+1})^2}$
dove, nell'ultima uguaglianza, ho sfruttato la proprietà della composizione di funzioni tra di loro inverse.
Svolgendo anche il minimo comune multiplo ottengo, in definitiva
$a_n = \frac{\sqrt{2n+1}}{n+1}$
A questo punto, applico il criterio del confronto asintotico per le serie, considerando come termine di paragone $b_n = 1/n$ e calcolo il limite
$lim_{n} \frac{n\sqrt{2n+1}}{n+1} = lim_{n} \sqrt{\frac{2n^3 + n^2}{n^2 + 2n + 1}} = \infty$
essendo il grado del numeratore maggiore di quello del denominatore. Ergo, la serie di partenza diverge.
Mi chiedo, il procedimento è corretto? Se sì, quale può essere almeno un altro metodo alternativo al mio per risolvere questo esercizio?
Ho pensato di risolvere così: riscrivo il termine generale $a_n = cos(arcsin(\frac{n}{n+1}))$ come
$cos(arcsin(\frac{n}{n+1})) = \sqrt{1-sin^2(arcsin(\frac{n}{n+1}))} = \sqrt{1-(\frac{n}{n+1})^2}$
dove, nell'ultima uguaglianza, ho sfruttato la proprietà della composizione di funzioni tra di loro inverse.
Svolgendo anche il minimo comune multiplo ottengo, in definitiva
$a_n = \frac{\sqrt{2n+1}}{n+1}$
A questo punto, applico il criterio del confronto asintotico per le serie, considerando come termine di paragone $b_n = 1/n$ e calcolo il limite
$lim_{n} \frac{n\sqrt{2n+1}}{n+1} = lim_{n} \sqrt{\frac{2n^3 + n^2}{n^2 + 2n + 1}} = \infty$
essendo il grado del numeratore maggiore di quello del denominatore. Ergo, la serie di partenza diverge.
Mi chiedo, il procedimento è corretto? Se sì, quale può essere almeno un altro metodo alternativo al mio per risolvere questo esercizio?
Risposte
Ciao CosenTheta,
Avrei risolto come hai fatto tu ma da qui
avrei risolto per confronto osservando che $\AA n >= 1 $ si ha $ a_n = \frac{\sqrt{2n+1}}{n+1} > \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}n} = 1/(sqrt2 sqrtn) $ e $ 1/sqrt2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(sqrtn) $ è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 1/2 < 1 $, notoriamente divergente.
Avrei risolto come hai fatto tu ma da qui
"CosenTheta":
in definitiva
$ a_n = \frac{\sqrt{2n+1}}{n+1} $
avrei risolto per confronto osservando che $\AA n >= 1 $ si ha $ a_n = \frac{\sqrt{2n+1}}{n+1} > \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}n} = 1/(sqrt2 sqrtn) $ e $ 1/sqrt2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(sqrtn) $ è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 1/2 < 1 $, notoriamente divergente.
Grazie.
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