Studio del carattere di una serie
Io ho la serie $\sum_{n=1}^oo sin(1/(nsqrt(n)) + 1/(n^2+1))$
Se considero $a_n$ l'espressione: $(1/(nsqrt(n)) + 1/(n^2+1))$
faccio il $\lim_{n \to \infty}a_n$, ottengo zero, di conseguenza vale la condizione necessaria per convergenza
Inoltre si nota abbastanza facilmente che la serie è a termini positivi..
Ricostruisco la parte principale (per il confronto asintotico)
Infatti applico il limite notevole $sin(x) = x + o(x)$ per $x$ tendente a zero.
Di conseguenza ho $1/(nsqrt(n)) + o(1/(nsqrt(n)))$
Ora che ho trovato $bn = 1/(nsqrt(n))$, non capisco il motivo per cui $bn$ sia convergente, e la strada che intraprendiamo per far si che $an$ sia convergente
Se considero $a_n$ l'espressione: $(1/(nsqrt(n)) + 1/(n^2+1))$
faccio il $\lim_{n \to \infty}a_n$, ottengo zero, di conseguenza vale la condizione necessaria per convergenza
Inoltre si nota abbastanza facilmente che la serie è a termini positivi..
Ricostruisco la parte principale (per il confronto asintotico)
Infatti applico il limite notevole $sin(x) = x + o(x)$ per $x$ tendente a zero.
Di conseguenza ho $1/(nsqrt(n)) + o(1/(nsqrt(n)))$
Ora che ho trovato $bn = 1/(nsqrt(n))$, non capisco il motivo per cui $bn$ sia convergente, e la strada che intraprendiamo per far si che $an$ sia convergente
Risposte
se:
$b_n=1/(n*sqrt(n))$
può essere riscritto come segue ( applicando le proprietà delle potenze):
$1/(n^((1/2)+1))$ = $1/(n^(3/2)$
il che ci fa pensare ad una serie armonica con $\alpha$>1 quindi possiamo dire che la serie converge..(se converge bn allora per il criterio asintotico possiamo dire che anche an converge).
$b_n=1/(n*sqrt(n))$
può essere riscritto come segue ( applicando le proprietà delle potenze):
$1/(n^((1/2)+1))$ = $1/(n^(3/2)$
il che ci fa pensare ad una serie armonica con $\alpha$>1 quindi possiamo dire che la serie converge..(se converge bn allora per il criterio asintotico possiamo dire che anche an converge).
ah ecco, mi sfuggiva il concetto di serie armonica, ora mi è chiaro esattamente tutto! Grazie mille!
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