Studio del carattere di una serie
Devo studiare al variare di $a\in R$ il carattere di questa serie $ sum_{n=1}^oo (e^(1/n^a)-1)^4 $ ma non saprei come procedere.
L'unica cosa che mi viene da dire è che la serie è positiva per ogni $a\in R$, è giusto?
Poi mi dovrei studiare la serie per $a>0$ e $a<0$??
L'unica cosa che mi viene da dire è che la serie è positiva per ogni $a\in R$, è giusto?
Poi mi dovrei studiare la serie per $a>0$ e $a<0$??
Risposte
si la serie è a termini positivi; considera poi che se $\alpha<0$ il termine generale non è infinitesimo e quindi la serie non può convergere. Resta solo il caso $\alpha>0:$ in tal caso hai che $1/n^{\alpha}\to0, n\to+\infty,$ quindi ....
"bugger":
Devo studiare al variare di $a\in R$ il carattere di questa serie $ sum_{n=1}^oo (e^(1/n^a)-1)^4 $ ma non saprei come procedere.
L'unica cosa che mi viene da dire è che la serie è positiva per ogni $a\in R$, è giusto?
Poi mi dovrei studiare la serie per $a>0$ e $a<0$??
sì la serie è positiva $\forall \alpha\in RR$
per quanto riguarda il carattere, bé io farei per $n\to +\infty$
$a_n=(e^((1)/(n^\alpha))-1)^4 ~ ((1)/(n^\alpha))^4=(1)/(n^(4\alpha))$
e converge per?....
"21zuclo":
per quanto riguarda il carattere, bé io farei per $ n\to +\infty $
$ a_n=(e^((1)/(n^\alpha))-1)^4 ~ ((1)/(n^\alpha))^4=(1)/(n^(4\alpha)) $
e converge per?....
Ma va bene usare $(1)/(n^(4\alpha))$ come serie di confronto? se faccio il limite della serie originale fratto questa, non fa $0$ che vuol dire che non si può usare come serie di confronto? Il limite che mi dice che la serie di confronto si comporta come la serie di partenza non deve essere positivo e diverso da 0?
Quello a cui ti stai riferendo è la condizione necessaria ma NON sufficiente per la convergenza
perchè la condizione necessaria non è sufficiente a garantire la convergenza,
Per esempio la serie armonica $\sum_1^(+\infty) 1/n$ il suo termine generale va a 0, ma la serie diverge! (lo si può dimostrare in tanti modi)
Sicuramente avrai studiato la serie armonica generalizzata $\sum_1^(+\infty) (1)/(n^\alpha)$ questa converge solo per $\alpha >1$ (lo si può dimostrare in tanti modi)
Quindi tu hai $\sum_1^(+\infty) (1)/(n^(4\alpha))$ e la serie converge per quali valori?
perchè la condizione necessaria non è sufficiente a garantire la convergenza,
Per esempio la serie armonica $\sum_1^(+\infty) 1/n$ il suo termine generale va a 0, ma la serie diverge! (lo si può dimostrare in tanti modi)
Sicuramente avrai studiato la serie armonica generalizzata $\sum_1^(+\infty) (1)/(n^\alpha)$ questa converge solo per $\alpha >1$ (lo si può dimostrare in tanti modi)
Quindi tu hai $\sum_1^(+\infty) (1)/(n^(4\alpha))$ e la serie converge per quali valori?
$a>1/4$??
esattamente!... converge solo per $\alpha \in (1/4,+\infty)$..
Quindi, ricapitolando
io ho la serie $ sum_{n=1}^oo (e^(1/n^a)-1)^4 $ da studiare al variare di $a\in R$.
La serie è a termini positivi $\forall a \in R$
Per $a < 0$ il limite della serie è $oo$ e quindi la condizione necessaria per la convergenza non è verificata, dunque la serie diverge.
Per $a>0$ il limite fa $0$ e dunque è verificata la condizione necessaria per la convergenza.
Per $n \to oo$, $(e^(1/n^a)-1)^4 ~~ 1/n^(4a) $ e quindi la serie di partenza si comporta come $sum_{n=1}^oo 1/n^(4a)$ che è una serie armonica generalizzata che converge per $4a>1 -= a>1/4 $ e quindi la serie di partenza converge per $a>=1/4 $ e diverge per $a<1/4$
E' giusto?
io ho la serie $ sum_{n=1}^oo (e^(1/n^a)-1)^4 $ da studiare al variare di $a\in R$.
La serie è a termini positivi $\forall a \in R$
Per $a < 0$ il limite della serie è $oo$ e quindi la condizione necessaria per la convergenza non è verificata, dunque la serie diverge.
Per $a>0$ il limite fa $0$ e dunque è verificata la condizione necessaria per la convergenza.
Per $n \to oo$, $(e^(1/n^a)-1)^4 ~~ 1/n^(4a) $ e quindi la serie di partenza si comporta come $sum_{n=1}^oo 1/n^(4a)$ che è una serie armonica generalizzata che converge per $4a>1 -= a>1/4 $ e quindi la serie di partenza converge per $a>=1/4 $ e diverge per $a<1/4$
E' giusto?
Per $\alpha=1/4$ diverge, ché ottieni una roba che va come $1/n$.
e allora per $a<1/4$ che fa?
Quel che hai detto tu.
Diverge? allora diverg per $a<=1/4$ e converge per $a>1/4$
sì!
perfetto, grazie mille di tutto
tieniti in mente la serie armonica generalizzata $\sum_(n=1)^(+\infty) (1)/(n^\alpha)$
questa CONVERGE solo per valori $\alpha>1$ e DIVERGE per valori $\alpha \leq 1$
vi sono vari modi per dimostarlo, tipo usando il criterio di condensazione, il criterio dell'integrale, ecc.. però la dimostrazione la trovi su qualsiasi testo di Analisi Matematica
questa CONVERGE solo per valori $\alpha>1$ e DIVERGE per valori $\alpha \leq 1$
vi sono vari modi per dimostarlo, tipo usando il criterio di condensazione, il criterio dell'integrale, ecc.. però la dimostrazione la trovi su qualsiasi testo di Analisi Matematica
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