Studio del carattere di un integrale

[whowas]

Salve a tutti, ho sviluppato una possibile soluzione del carattere di un integrale ma non so se i miei passaggi sono corretti.
Ho questo integrale :

$\int_0^(+infty) \frac{x^2}{(4+x^2)ln(\sqrt(4+x^2))} dx $

Usando il confronto Asintotico ho che:

$\int_0^(+infty) \frac{x^2}{(4+x^2)ln(\sqrt(4+x^2))} dx $ [size=200]$~$[/size] $\int_0^(+infty) \frac{1}{ln(\sqrt(4+x^2))} dx $ $ per $ $x \rarr +infty$

So che :
$\int_0^(+infty) \frac{1}{ln(\sqrt(4+x^2))} dx = \int_0^(+infty) \frac{1}{ln((4+x^2)^(1/2))} dx = 2\int_0^(+infty) \frac{1}{ln(4+x^2)} dx $

Penso fin qui, dico penso, di non aver commesso errori. Adesso il mio dubbio è:
Come maggioro o minore un logaritmo???
Non ho ben capito come maggiorare o minorare o minorare una certa funzione...

Io pensavo di fare questa cosa qui:

$ln(4+x^2) > ln e \rArr ln (4+x^2) > 1 \rArr \frac{1}{ln(4+x^2)} < 1$

Per cui per convergenza semplice e per il criterio del confronto asintotico concludevo che l'integrale converge.
Ho sbagliato qualcosa ? Il mio dubbio ripeto è sul confrontare le funzioni e quindi maggiorare e minorare in maniera esatta ed opportuna.

[quantunquemente]

osserviamo che
$ lim_(x -> +infty) 1/(ln(4+x^2)/(1/x))=lim_(x -> +infty) x/(ln(4+x^2))=+infty $
quindi a $+infty$ l'integrando è un infinitesimo di ordine minore di $1$
per un noto teorema l'integrale diverge

[whowas]

Non ho capito da dove derivi Quell $\frac {1}{x}$. Qualche limite notevole ed hai applicato un confronto asintotico ?