Studio dei punti singolari

[claudio_p88]

ho la seguente funzione \(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z^n}arctg(z) \) \(\displaystyle n\in\{0,1,2,3,..\} \), devo determinare l'insieme dei punti singolari della funzione, ho un dubbio, l'unico punto in cui la funzione presenta discontinuità è \(\displaystyle z=0 \) per \(\displaystyle n\ne 0 \), ora il dubbio è, questa è una singolarità ? oppure un polo? Sarei portato a dire che è una singolarità essenziale perchè se provo a determinare l'ordine del polo ho che \(\displaystyle f_1(z) = \frac{1}{z^n} \) , derivando tale funzione più volte e sostituendo alle derivate z = 0, non trovo mai un risultato che sia diverso da 0, tuttavia sono incerto se questo studio sia errato, e vada fatto in quest'altro modo cioè prendendo in considerazione solo \(\displaystyle z^n \) e considerandolo come un polo dunque l'ordine sarà dato da n, non sono molto sicuro di quello che ho scritto, attendo qualche delucidazione grazie.

[claudio_p88]

qualche aiuto please

[xdom="gugo82"]Non sono consentiti "up" prima di 24 ore (cfr. regolamento, 3.4).

Chiudo fino a domani.[/xdom]

[xdom="gugo82"]Riaperto.[/xdom]

[claudio_p88]

scusate se ho infranto le regole, non avevo letto il regolamento cmq qualcuno che mi dà una mano?

[gugo82]

La tua funzione è il prodotto di \(f_1(z):=1/z^n\) ed \(f_2(z):=\arctan z\).

Supponiamo innanzitutto che \(n>0\).
La funzione \(f_1(z)\) ha un polo in \(z=0\) d'ordine \(n\) (infatti l'espressione esplicita di \(f_1(z)\) coincide con il suo sviluppo di Laurent centrato in \(0\)). D'altra parte, la funzione \(f_1(z)\) è olomorfa fuori da \(0\) ed ha in \(\infty\) uno zero d'ordine \(n\).

D'altra parte \(f_2(z)\) ha in \(z=0\) uno zero d'ordine \(1\), ed ha singolarità nei punti \(z=\pm \imath\) (si tratta di punti di diramazione, perché l'arcotangente complessa si scrive come differenza di logaritmi complessi con punti di diramazione in \(\pm \imath\)).

Ne consegue che il prodotto \(f_1(z)\ f_2(z)\) presenta in \(z=0\):

[*:3u3b2f3n] una singolarità eliminabile nel caso \(n=1\);

[/*:m:3u3b2f3n]
[*:3u3b2f3n] un polo d'ordine \(n-1\) nel caso \(n>1\);[/*:m:3u3b2f3n][/list:u:3u3b2f3n]
e nei punti \(z=\pm \imath\) ha dei punti di diramazione.

Se \(n=0\) si ha \(f_1(z)=1\), quindi la funzione si riduce alla sola \(f_2(z)\).

[claudio_p88]

ok chiarissimo, adesso vorrei calcolare il \(\displaystyle Res(f,0) \) procedo tramite sviluppo ed ottengo \(\displaystyle f(z) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{z^{2k+1-n}}{2k+1} \), il libro mi dice che per n = 0 o n=1 o n >1, con pari si ha un risultato mentre con n dispari se ne ha un'altro, perchè? Inoltre per n = o e per n = 1 il residuo non dovrebbe essere sempre 0?, dà quello che so il residuo dovrebbe essere non nullo solamente nel caso in cui n = 2 o sbaglio?

[gugo82]

Lo sviluppo di Taylor di \(f_2\) è \(\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}\ z^{2k+1}\), quindi lo sviluppo di Laurent di \(f\) centrato in \(0\) è:
\[
\tag{1} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}\ z^{2k+1-n}
\]
come da te determinato.

Il residuo di \(f\) in \(0\), per definizione, il coefficiente di \(1/z\) nella serie di Laurent di \(f\); quindi per determinare \(\operatorname{Res}(f;0)\) si deve:

[*:37f6l5yj] determinare se esistono valori di \(n\) tali che la potenza \(1/z\) figuri nello sviluppo (1);

[/*:m:37f6l5yj]
[*:37f6l5yj] calcolare il coefficiente di \(1/z\).[/*:m:37f6l5yj][/list:u:37f6l5yj]
Per il primo punto basta notare che la potenza \(1/z\) compare in (1) se e solo se:
\[
2k+1-n=-1 \quad \Leftrightarrow\quad 2k=n-2
\]
e, dato che \(k \in \mathbb{N}\), ciò accade se e solo se \(n\) è un numero pari diverso da zero.

Detto ciò, abbiamo sicuramente \(\operatorname{Res}(f;0)=0\) se \(n=0\) oppure se \(n \text{ è dispari}\).

Se invece \(n\geq 2\) ed \(n \text{ è pari}\), si può scrivere \(n=2h\) con \(h\geq 1\) e perciò la potenza \(1/z\) nello sviluppo di Laurent si ottiene in (1) prendendo \(k=h-1\); per questo motivo si ha:
\[
\begin{split}
\operatorname{Res}(f;0) &= \frac{(-1)^{h-1}}{2(h-1)+1} \\
&= \frac{(-1)^{h-1}}{2h-1}\\
&=\frac{(-1)^{(n-2)/2}}{n-1}\; .
\end{split}
\]
Quindi:
\[
\operatorname{Res}(f;0) = \begin{cases} 0 &\text{, se } n=0 \text{ oppure } n \text{ è dispari}\\ \frac{(-1)^{(n-2)/2}}{n-1} &\text{, se } n\geq 2 \text{ è pari.}\end{cases}
\]

[claudio_p88]

grazie mille ora ho capito.