Studio dei punti di non derivabilità.
Buongiorno,
Faccio un pò di confusione su i punti di non derivabilità di una funzione. Vi espongo il mio problema
Sia $f(x)=sqrt(1-(x-1)^2)$
procedo nel seguente modo
1) Dominio della funzione $I=[0,2]$
2) La funzione risulta continua nel suo dominio, in quanto composte di funzioni continue.
3) Dominio della derivabilità, risulta per il teorema della derivata della funzione composta derivabile per ogni $x in I$ tranne per nei punti $x_0=0$ $x_1=2$.
Per capire il comportamento della funzione nei precedenti punti devo applicare la definizione di derivata nei punti $x_0=0$ $x_1=2$
Per $x_0=0$
$(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=(f(x)-f(0))/(x-0)=(f(x))/(x)=sqrt(1-(x-1)^2)/x=(1-(x-1)^2)/(x)*1/sqrt(1-(x-1)^2)=(2x-x^2)/(x) *1/sqrt(2x-x^2)$
$x to 0^(pm)$ $(2x-x^2)/(x) *1/sqrt(2x-x^2)=(2x)/(x) *1/sqrt(2x)=2/sqrt(2x)=(sqrt(2x))/x=sqrt(2)/sqrt(x)$
Quindi
$lim_(x to 0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x to 0^+)sqrt(2)/sqrt(x)= + infty$
$lim_(x to 0^-)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x to 0^-)sqrt(2)/sqrt(x)$ non esiste.
possi dire che nel punto $x_0=0$ non è derivabile ??
Per $x_1=2$
$(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=(f(x)-f(2))/(x-2)=(f(x)-0)/(x-2)=(f(x))/(x-2)=sqrt(1-(x-1)^2)/(x-2)=(1-(x-1)^2)/(x-2)*1/sqrt(1-(x-1)^2)=(2x-x^2)/(x-2)*1/(sqrt(2x-x^2))=(sqrt(2x-x^2))/(x-2)$
$x to 2^(pm)$ $(sqrt(2x-x^2))/(x-2)=(sqrt(2x))/(x-2)$
Quindi
$lim_(x to 2^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x to 2^+)(sqrt(2x))/(x-2)=4/0^+=+ infty$
$lim_(x to 0^-)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x to 2^-)(sqrt(2x))/(x-2)=4/0^-=- infty$
posso dire che nel punto $x_1$ è presente una cuspide ??
Cordiali Saluti.
Faccio un pò di confusione su i punti di non derivabilità di una funzione. Vi espongo il mio problema
Sia $f(x)=sqrt(1-(x-1)^2)$
procedo nel seguente modo
1) Dominio della funzione $I=[0,2]$
2) La funzione risulta continua nel suo dominio, in quanto composte di funzioni continue.
3) Dominio della derivabilità, risulta per il teorema della derivata della funzione composta derivabile per ogni $x in I$ tranne per nei punti $x_0=0$ $x_1=2$.
Per capire il comportamento della funzione nei precedenti punti devo applicare la definizione di derivata nei punti $x_0=0$ $x_1=2$
Per $x_0=0$
$(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=(f(x)-f(0))/(x-0)=(f(x))/(x)=sqrt(1-(x-1)^2)/x=(1-(x-1)^2)/(x)*1/sqrt(1-(x-1)^2)=(2x-x^2)/(x) *1/sqrt(2x-x^2)$
$x to 0^(pm)$ $(2x-x^2)/(x) *1/sqrt(2x-x^2)=(2x)/(x) *1/sqrt(2x)=2/sqrt(2x)=(sqrt(2x))/x=sqrt(2)/sqrt(x)$
Quindi
$lim_(x to 0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x to 0^+)sqrt(2)/sqrt(x)= + infty$
$lim_(x to 0^-)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x to 0^-)sqrt(2)/sqrt(x)$ non esiste.
possi dire che nel punto $x_0=0$ non è derivabile ??
Per $x_1=2$
$(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=(f(x)-f(2))/(x-2)=(f(x)-0)/(x-2)=(f(x))/(x-2)=sqrt(1-(x-1)^2)/(x-2)=(1-(x-1)^2)/(x-2)*1/sqrt(1-(x-1)^2)=(2x-x^2)/(x-2)*1/(sqrt(2x-x^2))=(sqrt(2x-x^2))/(x-2)$
$x to 2^(pm)$ $(sqrt(2x-x^2))/(x-2)=(sqrt(2x))/(x-2)$
Quindi
$lim_(x to 2^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x to 2^+)(sqrt(2x))/(x-2)=4/0^+=+ infty$
$lim_(x to 0^-)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x to 2^-)(sqrt(2x))/(x-2)=4/0^-=- infty$
posso dire che nel punto $x_1$ è presente una cuspide ??
Cordiali Saluti.
Risposte
"galles90":
possi dire che nel punto $x_0=0$ non è derivabile ??
Sì
"galles90":
posso dire che nel punto $x_1$ è presente una cuspide ??
Nel campo reale no: perché ci sia una cuspide nel punto $x_1$ la funzione deve esistere "negli intorni destro e sinistro" di tale punto: a sinistra esiste, ma a destra no - il dominio termina nel punto $x_1$.
Ciao,
per dominio intendi, il domino della derivata prima ?
La mia incertezza è proprio questa,
Supponendo che ho una certa funzione definita in $X$ e l'insieme di derivabilita è $X'$.
In particolare $a,b in X$ ma $a,b$ non appartengono a $X'$,
Quindi è possibile discutere la derivabilità nei punti $a,b$?
Se no ne posso studiarne la natura nei punti $a,b$?
per dominio intendi, il domino della derivata prima ?
La mia incertezza è proprio questa,
Supponendo che ho una certa funzione definita in $X$ e l'insieme di derivabilita è $X'$.
In particolare $a,b in X$ ma $a,b$ non appartengono a $X'$,
Quindi è possibile discutere la derivabilità nei punti $a,b$?
Se no ne posso studiarne la natura nei punti $a,b$?
"galles90":
per dominio intendi, il domino della derivata prima ?
No, mi riferivo al dominio di $f(x)$.
"galles90":
Supponendo che ho una certa funzione definita in $X$ e l'insieme di derivabilita è $X'$.
In particolare $a,b in X$ ma $a,b$ non appartengono a $X'$,
Quindi è possibile discutere la derivabilità nei punti $a,b$?
Ovviamente no: se quei punti non appartengono contemporaneamente sia al dominio di $f(x)$ sia al dominio di $f'(x)$, la funzione $f(x)$ non è derivabile in quei punti - perché? Proprio perché la derivata non è definita in quei punti.
Comunque sia in generale, se la derivata da calcolare non è un mostro, la si può ricavare e verificarne il dominio: il dominio di $f'(x)$ rappresenta l'insieme dei punti in cui $f(x)$ è derivabile SE in quei punti la funzione originale è definita.
"Brancaleone":
Comunque sia in generale, se la derivata da calcolare non è un mostro, la si può ricavare e verificarne il dominio: il dominio di $f'(x)$ rappresenta l'insieme dei punti in cui $f(x)$ è derivabile SE in quei punti la funzione originale è definita.
Ciò, in generale, è falso.
Prendi, tanto per dire la funzione $f:RR->RR$ definita ponendo:
\[
f(x):= \sqrt[3]{x^2\ \sin x}\; ;
\]
tale funzione è derivabile in $0$, poiché:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[3]{x^2\ \sin x}}{x} = 1
\]
e tuttavia la sua derivata prima, ottenuta coi soliti metodi di calcolo:
\[
f^\prime (x) = \frac{2x \sin x + x^2\cos x}{3\sqrt[3]{x^4 \sin^2 x}}
\]
non è definita in $0$.
Buonasera,
come detto, se ho una certa funzione definita in $X=[a,b]$, voglio determinare i punti in cui $f$ è derivabile cioè $X'={x_0 in X: f'(x_0) }$ con $f'(x_0)$ sia un valore finito cioè derivabile, (non riuscivo a scrivere derivabile nell'insieme $X'$
).
Se faccio un esempio mi viene meglio
Prendo in esame $f(x)=|x|x$ $ forall x in mathbb{R}$
so che la precedente funzione per gli ordinari teoremi risulta derivabile per ogni $x ne 0$ ma questo non mi da la certezza di dire che in $0$ la funzione non risulta derivabile, quindi non posso dire nulla.
Invece se applico la definizione di derivata (rapporto incrementale) so che la funzione risulta derivabile ed è pari a $0$
in quanto risulta
$lim_(x to 0)(f(x)-f(0))/(x-0)=lim_(x to 0)(f(x))/(x)=lim_(x to 0)(|x|x)/(x)=lim_(x to 0)|x|=0$
ne segue che $f$ è derivabile anche in $0$.
E' giusto il mio ragionamento ? cioè i passai che faccio sono corretti o ci sono dei punti che devo riguardarli.
Ciao
come detto, se ho una certa funzione definita in $X=[a,b]$, voglio determinare i punti in cui $f$ è derivabile cioè $X'={x_0 in X: f'(x_0) }$ con $f'(x_0)$ sia un valore finito cioè derivabile, (non riuscivo a scrivere derivabile nell'insieme $X'$
).Se faccio un esempio mi viene meglio
Prendo in esame $f(x)=|x|x$ $ forall x in mathbb{R}$
so che la precedente funzione per gli ordinari teoremi risulta derivabile per ogni $x ne 0$ ma questo non mi da la certezza di dire che in $0$ la funzione non risulta derivabile, quindi non posso dire nulla.
Invece se applico la definizione di derivata (rapporto incrementale) so che la funzione risulta derivabile ed è pari a $0$
in quanto risulta
$lim_(x to 0)(f(x)-f(0))/(x-0)=lim_(x to 0)(f(x))/(x)=lim_(x to 0)(|x|x)/(x)=lim_(x to 0)|x|=0$
ne segue che $f$ è derivabile anche in $0$.
E' giusto il mio ragionamento ? cioè i passai che faccio sono corretti o ci sono dei punti che devo riguardarli.
Ciao
teorema delle funzioni composte...
poni $f(x)=sqrt(x)$ e $g(x)=1-(x-1)^2$
la funzione $g$ è derivabile per ogni $x>0$ la funzione $sqrt(x)$ è derivabile per ogni $x>0$ quindi puoi star tranquillo che la composizione lo è.
la funzione $g$ è derivabile a destra di $0$ e la funzione $f$ no, bisogna controllare a mano.
in genere si trovano funzioni i cui punti di discontinuità della derivata sono pochi o al più numerabili(quantomeno negli esercizi) quindi nel caso in cui siano 2,3 basta controllarli a mano.
prendi la funzione $f(x)=|cosx|$ con $x in [-pi/2,pi/2]$
sicuramente se $-pi/2
poni $f(x)=sqrt(x)$ e $g(x)=1-(x-1)^2$
la funzione $g$ è derivabile per ogni $x>0$ la funzione $sqrt(x)$ è derivabile per ogni $x>0$ quindi puoi star tranquillo che la composizione lo è.
la funzione $g$ è derivabile a destra di $0$ e la funzione $f$ no, bisogna controllare a mano.
in genere si trovano funzioni i cui punti di discontinuità della derivata sono pochi o al più numerabili(quantomeno negli esercizi) quindi nel caso in cui siano 2,3 basta controllarli a mano.
prendi la funzione $f(x)=|cosx|$ con $x in [-pi/2,pi/2]$
sicuramente se $-pi/2
"gugo82":
[quote="Brancaleone"]Comunque sia in generale, se la derivata da calcolare non è un mostro, la si può ricavare e verificarne il dominio: il dominio di $f'(x)$ rappresenta l'insieme dei punti in cui $f(x)$ è derivabile SE in quei punti la funzione originale è definita.
Ciò, in generale, è falso.[/quote]
Non si smette mai di imparare. Grazie gugo - e scusa per lo svarione galles
Ciao antozoolander,
$g(x)=1-(x-1)^2=1-x^2+2x+1=2x-x^2$ essendo una funzione polinomiale risulta derivabile in tutto $mathbb{R}$ giusto ?
Invece $f(g(x))$ risulta derivabile quando $g(x)>0$ ?
Figurati brancaleone
$g(x)=1-(x-1)^2=1-x^2+2x+1=2x-x^2$ essendo una funzione polinomiale risulta derivabile in tutto $mathbb{R}$ giusto ?
Invece $f(g(x))$ risulta derivabile quando $g(x)>0$ ?
Figurati brancaleone
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