Studio dei punti critici con Hessiano nullo
Ciao a tutti, sono incappato in un esercizio un po' ostico, non e ho affrontati molti di questa tipologia quindi non saprei bene come procedere.
Ho la funzione \(\displaystyle f(x,y)=(y^2 -4)^2 * arctan (x-1) \)
1) Calcolare la derivata direzionale di f in (0,0) con direzione \(\displaystyle (\sqrt2/2 , \sqrt2/2) \)
2) Determinare i punti critici.
3) Determinare estremi assoluti in rettangolo di vertici A (0,2) B (1,2) C (1,-2) D (0,-2)
Partendo dal punto 1, il limite mi viene + infinito.
Nel punto 2, ho calcolato le fx e fy, poste uguale a 0 e mi sono trovato due punti P1( 1,-2) e P2 (1,2). Dopo ho calcolato le quattro derivate seconde e messe nell'Hessiano, ma con entrambi i punti mi esce una matrice con tutti e quattro gli elementi uguale a 0. A questo punto ricordo che ci fu mostrato un metodo delle retet per stabilire o no se erano eventuali punti sella, ma sostituendo la funzione f(x,y) con f(x,x) e f(x,-x) non riesco comunque ad andare avanti. Come dovrei fare in questa situazione?
Ho la funzione \(\displaystyle f(x,y)=(y^2 -4)^2 * arctan (x-1) \)
1) Calcolare la derivata direzionale di f in (0,0) con direzione \(\displaystyle (\sqrt2/2 , \sqrt2/2) \)
2) Determinare i punti critici.
3) Determinare estremi assoluti in rettangolo di vertici A (0,2) B (1,2) C (1,-2) D (0,-2)
Partendo dal punto 1, il limite mi viene + infinito.
Nel punto 2, ho calcolato le fx e fy, poste uguale a 0 e mi sono trovato due punti P1( 1,-2) e P2 (1,2). Dopo ho calcolato le quattro derivate seconde e messe nell'Hessiano, ma con entrambi i punti mi esce una matrice con tutti e quattro gli elementi uguale a 0. A questo punto ricordo che ci fu mostrato un metodo delle retet per stabilire o no se erano eventuali punti sella, ma sostituendo la funzione f(x,y) con f(x,x) e f(x,-x) non riesco comunque ad andare avanti. Come dovrei fare in questa situazione?
Risposte
ciao Bruss92
punto 1) ho provato a farlo e mi viene diverso. Potrei aver sbagliato i conti, controlla tu
$ (del f)/(del x) = (y^2-4)^2 1/(x^2-2x+2)$
$ (del f)/(del y) = 4y(y^2-4) arctan (x-1)$
quindi
$grad f(0,0)= (8,0)$
la direzione che ti hanno dato è già normalizzata, il vettore ha norma unitaria
la derivata direzionale è il prodotto interno tra questo gradiente e il vettore direzione
$D = (8,0) (sqrt2/2,sqrt2/2)= 4 sqrt2$
controlla però che i miei conti siano corretti
ciao!
punto 1) ho provato a farlo e mi viene diverso. Potrei aver sbagliato i conti, controlla tu
$ (del f)/(del x) = (y^2-4)^2 1/(x^2-2x+2)$
$ (del f)/(del y) = 4y(y^2-4) arctan (x-1)$
quindi
$grad f(0,0)= (8,0)$
la direzione che ti hanno dato è già normalizzata, il vettore ha norma unitaria
la derivata direzionale è il prodotto interno tra questo gradiente e il vettore direzione
$D = (8,0) (sqrt2/2,sqrt2/2)= 4 sqrt2$
controlla però che i miei conti siano corretti
ciao!
Si effettivamente mi trovo, avevo usato l'altro metodo tramite il limite, ma probabilmente avrò fatto un errore di conti. Invece col secondo punto non riesco ancora ad uscirne 
tanto per cominciare, mi sembra evidente che ci ci siano infiniti punti critici : infatti quando $y=+-2$,$x$ fa quello che gli pare
poi,prendiamo ad esempio il punto $(1,2)$ : in ogni suo intorno circolare esistono punti in cui $z$ è positiva e punti in cui $z$ è negativa
in corrispondenza di $(x,2)$ con $x>1$ si può trovare un piccolo intorno circolare in cui $zgeq 0$,etc.....
poi,prendiamo ad esempio il punto $(1,2)$ : in ogni suo intorno circolare esistono punti in cui $z$ è positiva e punti in cui $z$ è negativa
in corrispondenza di $(x,2)$ con $x>1$ si può trovare un piccolo intorno circolare in cui $zgeq 0$,etc.....
Capito, forse ho ragionato in maniera troppo chiusa e meccanica. Ma se avessi voluto proseguire, in un caso generale, col metodo delle rette o con quello del segno, come avrei dovuto procedere?
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