Studio dei punti critici
\(\displaystyle \)salve a tutti! sono nuovo del forum
vorrei dei chiarimenti circa l'annullamento delle derivate parziali prime nella ricerca dei punti critici di
$f(x,y)=x^2(x^2+4y^2-4)$
e queste le derivate prime da annullare
$\{(2x(2x^2+4y^2-4)=0),(8yx^2=0):}$
ora non vorrei sembrare banale... come procedo nell'annullamento? quali sono le coppie giuste di numeri da usare?
scusatemi se vi sembro banale ma necessito di una spiegazione
grazie 1000
vorrei dei chiarimenti circa l'annullamento delle derivate parziali prime nella ricerca dei punti critici di
$f(x,y)=x^2(x^2+4y^2-4)$
e queste le derivate prime da annullare
$\{(2x(2x^2+4y^2-4)=0),(8yx^2=0):}$
ora non vorrei sembrare banale... come procedo nell'annullamento? quali sono le coppie giuste di numeri da usare?
scusatemi se vi sembro banale ma necessito di una spiegazione
grazie 1000
Risposte
La seconda equazione ha come conseguenza $x=0 vv y=0$
Esamina separatamente questi due casi
Esamina separatamente questi due casi
per
$y=0, x=+-sqrt(2)$ quindi sostituendo nella matrice hessiana mi risultano $(+-sqrt(2),0)$ punti di minimo locale;
per
$x=0,$ $2x(2x^2+4y^2−4)=0$ si annulla tutto oppure considero $4y^2-4=0$ ???
i risultati indicano
$(0, \bar y)$ punto di minimo relativo
se $\bar y ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞)$, di massimo relativo se $\bar y ∈ (−1, 1)$, punto di sella se $\bar y = ±1$;
come mai?
$y=0, x=+-sqrt(2)$ quindi sostituendo nella matrice hessiana mi risultano $(+-sqrt(2),0)$ punti di minimo locale;
per
$x=0,$ $2x(2x^2+4y^2−4)=0$ si annulla tutto oppure considero $4y^2-4=0$ ???
i risultati indicano
$(0, \bar y)$ punto di minimo relativo
se $\bar y ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞)$, di massimo relativo se $\bar y ∈ (−1, 1)$, punto di sella se $\bar y = ±1$;
come mai?
"EnginXM":Ovviamente si annulla tutto.
$x=0,$ $2x(2x^2+4y^2−4)=0$ si annulla tutto oppure considero $4y^2-4=0$ ?
"EnginXM":Beh, che sia $(0,bary)$ con $bary in RR$ punto stazionario non ci piove.
i risultati indicano
$(0, \bar y)$ punto di minimo relativo
se $\bar y ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞)$, di massimo relativo se $\bar y ∈ (−1, 1)$, punto di sella se $\bar y = ±1$;
come mai?
Bisogna vedere come viene l'Hessiana
$((2(2x^2+4y^2-4)+8x^2,8y2x),(8y2x,8x^2))$
In realtà viene $((2(2x^2+4y^2-4)+8x^2,8y2x),(8y2x,8x^2))$. Ma cambia poco.
Nel punto $(0,bary)$ l'Hessiana diventa $((8(bary^2-1),0),(0,0))$
Quindi con la sola Hessiana non si può concludere nulla circa la classificazione di questi punti stazionari.
Bisona quindi agire in un altro modo. Sai come fare?
Suggerimento: $f(x,y)=x^2(x^2+4y^2-4)$ va studiata "vicino" a $(0,bary)$
Nel punto $(0,bary)$ l'Hessiana diventa $((8(bary^2-1),0),(0,0))$
Quindi con la sola Hessiana non si può concludere nulla circa la classificazione di questi punti stazionari.
Bisona quindi agire in un altro modo. Sai come fare?
Suggerimento: $f(x,y)=x^2(x^2+4y^2-4)$ va studiata "vicino" a $(0,bary)$
scusami ma non ti seguo... il mio problema è che non capisco come mai $(0,bar y)$ sia un punto critico...
e non capisco il perchè di quei intervalli come risultato.. se vuoi essere così paziente da spiegarlo ti sarei grato.. esami incombono :S
e non capisco il perchè di quei intervalli come risultato.. se vuoi essere così paziente da spiegarlo ti sarei grato.. esami incombono :S
"EnginXM":Perchè $(0,bary)$ è soluzione del sistema $\{(2x(2x^2+4y^2-4)=0),(8yx^2=0):}$ $AA bary inRR$
scusami ma non ti seguo... il mio problema è che non capisco come mai $(0,bar y)$ sia un punto critico...
"EnginXM":Scusa, ma di teoria non sai nulla? Avrai seguito un corso, possiedi degli appunti, ci sarà un libro del corso.
non capisco il perchè di quei intervalli come risultato
Non credo che questo esercizio ti venga dato senza che tu non abbia le conoscenze minime per risolverlo.
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