Studio dei punti critici

[asabasa]

Ecco la funzione

$f(x,y)= xy(e^{y-1}-1)$

Ecco il mio tentativo
$f_x= ye^{y-1}-y$
$f_y=xe^{y-1}+xye^{y-1}-x$

I punti critici che mi escono sono $(0,0),(0,1),(0,-1),(e,0)$

Facendo l'Hessiano mi trovo che sono tutti punti di sella tranne (0,0) che per mia grande
mi dà l'Hessiano nullo... cosa devo fare per valutare il comportamento della funzione
in (0,0) di questa funzione?
E in generale?

Ps: E' probabile che i miei calcoli siano sbagliati, ho il cervello in pappa

[asabasa]

Grazie per la risposta.

Mi trovo con quello che dici... effettivamente ho fatto un bel casotto coi conti!

Già che ci sono posto un altro esercizio.

Trovare i punti critici della seguente funzione:

$f(x,y)= (2x^2 + y^2)(1-x)^2$

$f_x=8x^3-12x^2+4x+2xy^2-2y^2$
$f_y=2y+2x^2y-4xy$

Mi trovo i punti $(0,0)$ che risulta di minimo,$(1/2,0)$ di sella e (1,0) con Hessiano nullo.
Ho trovato sul libro (Marcellini Sbordone) alcuni esercizi svolti..
Per esempio posso considerare le rette passanti per (0,1) parallele agli assi cartesiani

$g(y)=f(1,y)=0$

$h(x)=f(x,0)=2x^2(x-1)^2$

E poi devo studiare i segni delle derivate di queste nuove funzioni,
solo che quelle di $g(y)$ sono tutte zero.. ovviamente
Mentre $h'(0)=0, h"(0)=4$

Ma qualcosa mi dice che devo scegliere un'altra via

EDIT: Altro modo... considerare la funzione $f(x,x)$ per cui $(1,0)$ risulta di minimo!
Ma come capisco quale metodo devo usare?

[asabasa]

Mmm.. mi sembra di aver capito, ma volendo dimostrare che è così, come faccio?
Dovrei prendere un intorno di $(1,0)$ e verificarlo? Ne basta uno solo immagino.
Ma come faccio a dire che è tutta la retta?

[asabasa]

Forse perchè in questo caso specifico se $x=1$ per ogni $y$ la mia funzione vale 0 ?
e per ogni $x!= 0$ la mia funzione è diversa da 0, anzi è maggiore di 0?

[asabasa]

Grazie!!!!
Sto capendo!!!