Studio dei massimi e minimi assoluti -analisi 2
il testo è il seguente:
$ f(x,y)=y^2(sqrt(x-3y+2)) $
con dominio dato:
$ D={(x;y): x>=-y-2 , x<=2 } $
allora inizialmente ho ricavato il dominio dalla funzione:
$ x-3y+2>=0 $ il quale mi viene una retta che si interseca con le altre due date nel dominio così da avere $D $ chiuso e limitato (conferma hp di weiestrass)
mi calcolo i punti di intersezione delle tre rette mettendole a sistema , e risultano :
$ a(2,-4) b(-2,0) c(2,4/3) $
il primo problema si presenta nel calcolo del gradiente il quale risulta $ 0=0 $ ovvero non trovo un punto specifico
ho pensato che questo volesse dire che tutti i punti all'interno del dominio sono candidati a essere punti di massimo e minimo ma come riconoscerli??
il secondo problema è sullo studio di frontiera:
le prime due rette date mi restituiscono tre punti $ b(-2,0) d(2,0) e(2, 16/15) $
sotituendo però la terza retta alla funzione mi viene che $ dot f = 0 $ che significato ha?
infine sostituendo i punti $ a ,b ,c , d ,e $ trovo che $ a $ è punto di massimo e $b$ di minimo ma non considerando i punti sia del gradiente che della terza retta sulla frontiera so che sto perdendo punti di massimo e minimo , ma non capisco come trovarli
ringrazio in anticipo,
spero di essere stata chiara
$ f(x,y)=y^2(sqrt(x-3y+2)) $
con dominio dato:
$ D={(x;y): x>=-y-2 , x<=2 } $
allora inizialmente ho ricavato il dominio dalla funzione:
$ x-3y+2>=0 $ il quale mi viene una retta che si interseca con le altre due date nel dominio così da avere $D $ chiuso e limitato (conferma hp di weiestrass)
mi calcolo i punti di intersezione delle tre rette mettendole a sistema , e risultano :
$ a(2,-4) b(-2,0) c(2,4/3) $
il primo problema si presenta nel calcolo del gradiente il quale risulta $ 0=0 $ ovvero non trovo un punto specifico
ho pensato che questo volesse dire che tutti i punti all'interno del dominio sono candidati a essere punti di massimo e minimo ma come riconoscerli??
il secondo problema è sullo studio di frontiera:
le prime due rette date mi restituiscono tre punti $ b(-2,0) d(2,0) e(2, 16/15) $
sotituendo però la terza retta alla funzione mi viene che $ dot f = 0 $ che significato ha?
infine sostituendo i punti $ a ,b ,c , d ,e $ trovo che $ a $ è punto di massimo e $b$ di minimo ma non considerando i punti sia del gradiente che della terza retta sulla frontiera so che sto perdendo punti di massimo e minimo , ma non capisco come trovarli
ringrazio in anticipo,
spero di essere stata chiara
Risposte
Ciao,
ben iscritta. Sono d'accordo sul dominio: un bel triangolo.
Quando studio le funzioni in due variabili cerco sempre di farmi un'idea dell'aspetto del loro grafico e a tal fine vedo se si può fare velocemente uno studio del segno, anche se non è espressamente richiesto. Nel caso in esame vediamo che la nostra funzione vediamo che è il prodotto di una quantità elevata al quadrato e di una radice. Entrambe i fattori sono o positivi o nulli ma mai negativi. La nostra funzione (là dove è definita) sarà sempre positiva e nulla dove uno dei due fattori vale 0. Ora il primo fattore $y^2$ si annulla quando $y=0$, quindi la nostra funzione vale 0 lungo l'asse x. Il secondo fattore si annulla quando si annulla il radicando e quindi proprio lungo la frontiera del nostro dominio $y=x/3+2/3$. In corrispondenza dei punti di queste due rette la nostra funzione vale 0, altrove è positiva. Quindi i punti di quelle rette sono minimi, isn't it?
ben iscritta. Sono d'accordo sul dominio: un bel triangolo.
Quando studio le funzioni in due variabili cerco sempre di farmi un'idea dell'aspetto del loro grafico e a tal fine vedo se si può fare velocemente uno studio del segno, anche se non è espressamente richiesto. Nel caso in esame vediamo che la nostra funzione vediamo che è il prodotto di una quantità elevata al quadrato e di una radice. Entrambe i fattori sono o positivi o nulli ma mai negativi. La nostra funzione (là dove è definita) sarà sempre positiva e nulla dove uno dei due fattori vale 0. Ora il primo fattore $y^2$ si annulla quando $y=0$, quindi la nostra funzione vale 0 lungo l'asse x. Il secondo fattore si annulla quando si annulla il radicando e quindi proprio lungo la frontiera del nostro dominio $y=x/3+2/3$. In corrispondenza dei punti di queste due rette la nostra funzione vale 0, altrove è positiva. Quindi i punti di quelle rette sono minimi, isn't it?
"gio73":
Ciao,
ben iscritta. Sono d'accordo sul dominio: un bel triangolo.
Quando studio le funzioni in due variabili cerco sempre di farmi un'idea dell'aspetto del loro grafico e a tal fine vedo se si può fare velocemente uno studio del segno, anche se non è espressamente richiesto. Nel caso in esame vediamo che la nostra funzione vediamo che è il prodotto di una quantità elevata al quadrato e di una radice. Entrambe i fattori sono o positivi o nulli ma mai negativi. La nostra funzione (là dove è definita) sarà sempre positiva e nulla dove uno dei due fattori vale 0. Ora il primo fattore $y^2$ si annulla quando $y=0$, quindi la nostra funzione vale 0 lungo l'asse x. Il secondo fattore si annulla quando si annulla il radicando e quindi proprio lungo la frontiera del nostro dominio $y=x/3+2/3$. In corrispondenza dei punti di queste due rette la nostra funzione vale 0, altrove è positiva. Quindi i punti di quelle rette sono minimi, isn't it?
per i punti in corrispondenza delle rette intendi i punti $ (-2, 0) (2,4/3) (2,0)$
per il resto chiaro e utilissimo!!! grazie mille...
ma per quanto riguarda il gradiente sai dirmi niente?
mi fai vedere le derivate parziali?
"gio73":
mi fai vedere le derivate parziali?
si non ho trovato il simbolo per fare F'x e F'y per questo non le avevo inserite...
quindi mi scuso in anticipo
$ F'x= y^2 (-3/(2(sqrt(x-3y+2)))) +2y sqrt(x-3y+2) $
$F'y= y^2/(2(sqrt(x-3y+2))
$
F'y mi da che $ y=0 $
ma l'altra è un equazione del tipo $ 0=0 $ e non capisco concettualmente cosa significa
"neril_s":
$ F'x= y^2 (-3/(2(sqrt(x-3y+2)))) +2y sqrt(x-3y+2) $
$F'y= y^2/(2(sqrt(x-3y+2))
$
F'y mi da che $ y=0 $
Sono d'accordo con le derivate parziali anche se mi sembra che tu abbia scritto $f_x$ al posto di $f-y$ e viceversa
entrambe le equazioni si annullano quando $y=0$ ed infatti noi avevamo già dedotto dallo studio del segno che lì avevamo punti di minimo assoluto, ok?
"neril_s":
ma l'altra è un equazione del tipo $ 0=0 $ e non capisco concettualmente cosa significa
Non capisco cosa intendi.
"gio73":
[quote="neril_s"]
$ F'x= y^2 (-3/(2(sqrt(x-3y+2)))) +2y sqrt(x-3y+2) $
$F'y= y^2/(2(sqrt(x-3y+2))
$
F'y mi da che $ y=0 $
Sono d'accordo con le derivate parziali anche se mi sembra che tu abbia scritto $f_x$ al posto di $f-y$ e viceversa
entrambe le equazioni si annullano quando $y=0$ ed infatti noi avevamo già dedotto dallo studio del segno che lì avevamo punti di minimo assoluto, ok?
"neril_s":
ma l'altra è un equazione del tipo $ 0=0 $ e non capisco concettualmente cosa significa
Non capisco cosa intendi.[/quote]
si ho sbagliato le ho invertite ... si mi risulta un equazione del tipo $ 0=0 $ perchè le due derivate sono a sistema e quando dalla $f_x$ trovo che $y=0$ lo sostituisco alla $f_y$ ed ho la mia equazione $0=0$
per vedere i punti interni (poi ci sta che mi sbagli) ho sempre messo le due derivate a sistema e eguagliate a 0
Corretto,infatti hai i punti dell'asse x ($y=0$), la porzione di asse contenuta nel dominio della funzione, in cui il gradiente è uguale a 0 (entrambe le derivate parziali si annullano) e sappiamo già, dallo studio del segno, che sono minimi. Visto che non ci sono altri punti critici passiamo ad esaminare la frontiera: hai già qualche idea? Cosa ti aspetti di trovare?
"gio73":
Corretto,infatti hai i punti dell'asse x ($y=0$), la porzione di asse contenuta nel dominio della funzione, in cui il gradiente è uguale a 0 (entrambe le derivate parziali si annullano) e sappiamo già, dallo studio del segno, che sono minimi. Visto che non ci sono altri punti critici passiamo ad esaminare la frontiera: hai già qualche idea? Cosa ti aspetti di trovare?
Si sulla frontiera ho già calcolato non ho problemi ,l'intersezione con le due rette date nel testo mi dava 3 punti due di minimo e uno che non è poi un punto nè di massimo nè di minimo e l'altra (la terza retta trovata) retta mi dava che la funzione vale zero (con il tuo aiuto poi ho scoperto che il segmento del domino vale zero )
problema risolto GRAZIE MILLE!!!!!!
Sono felice per te, puoi scrivere le soluzioni in modo tale che chi dovesse leggere questo thread e volesse cimentarsi possa confrontare i risultati?
allora si i punti da sostituire alla funzione sono:
$ A(2,-4) B(-2,0) C(2,4/3) D(2,0) E(2,16/15) $
risulta che i punti $ (B , C ,D )=0$ sono quindi punti di minimo assoluto insieme a tutti i punti sui segmenti $ BC , BD $ . il punto $A=64$ è il nostro punto di massimo assoluto
$ A(2,-4) B(-2,0) C(2,4/3) D(2,0) E(2,16/15) $
risulta che i punti $ (B , C ,D )=0$ sono quindi punti di minimo assoluto insieme a tutti i punti sui segmenti $ BC , BD $ . il punto $A=64$ è il nostro punto di massimo assoluto
Sono d'accordo.
Per indicare i punti usa le lettere maiuscole, è una convenzione: rispettala. Usa il tasto modifica in alto a destra.
Per indicare i punti usa le lettere maiuscole, è una convenzione: rispettala. Usa il tasto modifica in alto a destra.
"gio73":
Sono d'accordo.
Per indicare i punti usa le lettere maiuscole, è una convenzione: rispettala. Usa il tasto modifica in alto a destra.
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