Studio degli zeri di una funzione in base ad un parametro. Complicazione.

[freddoRm]

Ciao a tutti!

Ho un problema con gli zeri di questa funzione, mi si chiede di trovarli al variare di $lambda$ reale.


$e^(3x)-2e^x-lambda$

ho effettuato una sostituzione $t=e^x$ ottenendo $x^3-2x-lambda$

Quindi studiando la derivata ottengo 2 variazioni di pendenza in base a due punti $++ (-sqrt(6)/3) -- (sqrt(6)/3) ++$ che sono rispettivamente max e min. Fin qui tutto bene ma poi non riesco a tornare alla variabile in x.

se $e^x=t$ allora $x=ln(t)$ il primo punto non è accettabile in quanto $-sqrt(6)/3<0$ mentre rimane il minimo che in x dovrebbe essere $ln(sqrt(6)/3)$

C'è qualcosa che non mi torna
Fin qui secondo voi è giusto?

Grazie.

edit: avevo scritto male la funzione! Perdono

[Lele0012]

Posso chiederti come da...
$f(x)=e^(3x)+2e^x-\lambda$
Applicando quella sostituzione, tu abbia ottenuto...
$t^3-2t-\lambda$?
Mi sembra ci fosse un + davanti il 2: quale delle due è quella giusta?

Se fai per bene le derivate, ti accorgi che quella funzione è crescente, non ha punti di minimo o massimo! Ti faccio però notare che, se $\lambda$<=0, sicuramente non hai intersezioni con l'asse delle x, poiché $f(x)$ diventa somma di esponenziali e un numero positivo, che è sempre positiva Per $\lambda>0$... beh, vediamo cosa riesci a dedurre

[freddoRm]

"Lele0012":Posso chiederti come da...
$f(x)=e^(3x)+2e^x-\lambda$
Applicando quella sostituzione, tu abbia ottenuto...
$t^3-2t-\lambda$?
Mi sembra ci fosse un + davanti il 2: quale delle due è quella giusta?

Se fai per bene le derivate, ti accorgi che quella funzione è crescente, non ha punti di minimo o massimo! Ti faccio però notare che, se $\lambda$<=0, sicuramente non hai intersezioni con l'asse delle x, poiché $f(x)$ diventa somma di esponenziali e un numero positivo, che è sempre positiva Per $\lambda>0$... beh, vediamo cosa riesci a dedurre

Perdono, ho ri-corretto, la funzione giusta è questa:

$f(x)=e^(3x)-2e^x-\lambda$

[freddoRm]

Ho anche graficato i punti che ho trovato e tornano. semplicemente sbaglio qualcosa nei conti per trovare $f(ln(sqrt(6)/3))$ ops:

Edit, svolgendo bene i conti, torna. scusate

Grazie comunque per la risposta, mi hai fatto scovare quel "-" che mi ero dimenticato copiando male sull'altra pagina.


Rimane solo una domanda:

Nel passare da t a x, dato che lo zero negativo in t non è nel dominio del ln, è valido dire quello che ho scritto sopra?

[Lele0012]

Allora, temo di non trovarmi con i tuoi punti di minimo:
$f(x)=e^(3x)-2e^x-\lambda$
Dunque, derivando,
$f'(x)=3e^(3x)-2e^x$
Posto $e^x=t$, studiamone il segno:
$3t^3-2t>=0 \Leftrightarrow t\in[-\sqrt(2/3),0] \cup x>=\sqrt(2/3)$
Ed è negativa negli altri intervalli. Ritornando da $t$ a $e^x$, ovviamente $e^x$ non può appartenere ad intervalli come [-\sqrt(2/3),0] che sono negativi, perciò sono da scartare. Per il resto, hai evidentemente un punto di minimo per $t=\sqrt(2/3)$, quindi, essendo:
$e^x=t \Rightarrow x=log(t)=1/2log(2/3)$
Che è il tuo punto di minimo. A questo punto studia i limiti della funzione ad inifinito per vedere il suo andamento, e troverai facili il numero di intersezioni. Se hai ancora problemi chiedi pure

Per $x\rightarrow \-infty$ e $\infty$ hai rispettivamente $-\lambda$ e $infty$. La funzione ha quindi un asintoto orizzontale in $\lambda$, "scende" fino al minimo e poi sale di nuovo verso infinito. In $x=1/2log(2/3)$, $f(x)=-4/3(\sqrt(2/3))-\lambda$ Quindi hai una sola intersezione (due coincidenti) se $\lambda=-4/3(\sqrt(2/3))$, dove la funzione si annulla, nessuna intersezione per $\lambda<-4/3(\sqrt(2/3))$. Per $\lambda \in (-4/3(\sqrt(2/3)),0)$ hai due intersezioni, e di nuovo solo una per $\lambda>=0$

[freddoRm]

"Lele0012":Allora, temo di non trovarmi con i tuoi punti di minimo:
$f(x)=e^(3x)-2e^x-\lambda$
Dunque, derivando,
$f'(x)=3e^(3x)-2e^x$
Posto $e^x=t$, studiamone il segno:
$3t^3-2t>=0 \Leftrightarrow t\in[-\sqrt(2/3),0] \cup x>=\sqrt(2/3)$
Ed è negativa negli altri intervalli. Ritornando da $t$ a $e^x$, ovviamente $e^x$ non può appartenere ad intervalli come [-\sqrt(2/3),0] che sono negativi, perciò sono da scartare. Per il resto, hai evidentemente un punto di minimo per $t=\sqrt(2/3)$, quindi, essendo:
$e^x=t \Rightarrow x=log(t)=1/2log(2/3)$
Che è il tuo punto di minimo. A questo punto studia i limiti della funzione ad inifinito per vedere il suo andamento, e troverai facili il numero di intersezioni. Se hai ancora problemi chiedi pure

Per $x\rightarrow \-infty$ e $\infty$ hai rispettivamente $-\lambda$ e $infty$. La funzione ha quindi un asintoto orizzontale in $\lambda$, "scende" fino al minimo e poi sale di nuovo verso infinito. In $x=1/2log(2/3)$, $f(x)=-4/3(\sqrt(2/3))-\lambda$ Quindi hai una sola intersezione (due coincidenti) se $\lambda=-4/3(\sqrt(2/3))$, dove la funzione si annulla, nessuna intersezione per $\lambda<-4/3(\sqrt(2/3))$. Per $\lambda \in (-4/3(\sqrt(2/3)),0)$ hai due intersezioni, e di nuovo solo una per $\lambda>=0$

In realtà siamo arrivati allo stesso punto di minimo con due procedimenti diversi.

$1/2log(2/3) = log (sqrt6/3) $ come si eguagliano i punti di max/min della funzione in t. Io ho sostituito e poi derivato, tu hai derivato e poi sostituito. A questo punto presumo che sia indifferente.

Grazie anche per la precisazione sugli intervalli!

[Lele0012]

Ops, svistone mio, allora