Studio convessità/ concavità $f(x)= x^2-5x-ln|x|$
come da titolo devo studiare in quale intervallo la funzione è concava in quale convessa.
procedo con la mia risoluzione:
$f(x)= x^2-5x-ln|x|$
$f^1 (x)= (2x^2-5x-1)/x$
svolgendo i calcoli la derivata prima risulta essere :
$f^1 (x) > 0$ $->$ $(5-sqrt33)/4(5+sqrt33)/4$
$f^1 (x) < 0$ $->$ $ x< (5-sqrt33)/4 $ $uu$ $ 0
da cui si evince che sulle rette $x=(5-sqrt33)/4$ e $x=(5+sqrt33)/4$ giacciono due punti di minimo.
studio della derivata seconda:
$f^2 (x)= (2x^2+1)/x^2$ che è positiva per per qualsiasi valore di $R-{0}$
come risposta conclusiva io direi che la funzione è convessa nell'intervallo : $(-oo;0) uu (0;+oo) $
secondo la correzione del prof,invece, questa funzione è convessa solo nell'intervallo $(0;+oo)$ ... dove ho sbagliato?
grazie
procedo con la mia risoluzione:
$f(x)= x^2-5x-ln|x|$
$f^1 (x)= (2x^2-5x-1)/x$
svolgendo i calcoli la derivata prima risulta essere :
$f^1 (x) > 0$ $->$ $(5-sqrt33)/4
$f^1 (x) < 0$ $->$ $ x< (5-sqrt33)/4 $ $uu$ $ 0
da cui si evince che sulle rette $x=(5-sqrt33)/4$ e $x=(5+sqrt33)/4$ giacciono due punti di minimo.
studio della derivata seconda:
$f^2 (x)= (2x^2+1)/x^2$ che è positiva per per qualsiasi valore di $R-{0}$
come risposta conclusiva io direi che la funzione è convessa nell'intervallo : $(-oo;0) uu (0;+oo) $
secondo la correzione del prof,invece, questa funzione è convessa solo nell'intervallo $(0;+oo)$ ... dove ho sbagliato?
grazie
Risposte
Ciao 
il tuo svolgimento è corretto. A meno che il tuo professore non abbia fatto qualche restrizione a suo piacimento, ha sbagliato.
Anche perché è abbastanza semplice come funzione.
il dominio viene complicato solo $ln(|x|)$ che è per definizione positivo o nullo. Quindi ci basta escludere quando $|x|=0$ ovvero proprio per $x=0$ ... $f:]-infty;0[cup]0;+infty[$
$f(x)=x^2-5x-ln(|x|)$
$f'(x)=d/(dx)f(x)=2x-5-|x|/(x)*1/|x|=2x-4-1/x$ passiamo direttamente alla derivata seconda
$f''(x)=d/(dx)f'(x)=2+1/x^2$ palesemente positiva $forallx inR$
quindi la funzione è convessa su tutto il dominio.
il tuo svolgimento è corretto. A meno che il tuo professore non abbia fatto qualche restrizione a suo piacimento, ha sbagliato.
Anche perché è abbastanza semplice come funzione.
il dominio viene complicato solo $ln(|x|)$ che è per definizione positivo o nullo. Quindi ci basta escludere quando $|x|=0$ ovvero proprio per $x=0$ ... $f:]-infty;0[cup]0;+infty[$
$f(x)=x^2-5x-ln(|x|)$
$f'(x)=d/(dx)f(x)=2x-5-|x|/(x)*1/|x|=2x-4-1/x$ passiamo direttamente alla derivata seconda
$f''(x)=d/(dx)f'(x)=2+1/x^2$ palesemente positiva $forallx inR$
quindi la funzione è convessa su tutto il dominio.
"Ilprincipiante":
studio della derivata seconda:
$f^2 (x)= (2x^2+1)/x^2$ che è positiva per per qualsiasi valore di $R-{0}$
come risposta conclusiva io direi che la funzione è convessa nell'intervallo : $(-oo;0) uu (0;+oo) $
La derivata seconda è positiva in ciascuno dei due intervalli \((-\infty, 0)\) e \((0, +\infty)\).
Di conseguenza la funzione è convessa in ciascuno dei due intervalli; non è corretto dire che è convessa nella loro unione (che, peraltro, non è nemmeno un intervallo).
"anto_zoolander":
Ciao
il tuo svolgimento è corretto. A meno che il tuo professore non abbia fatto qualche restrizione a suo piacimento, ha sbagliato.
Anche perché è abbastanza semplice come funzione.
il dominio viene complicato solo $ ln(|x|) $ che è per definizione positivo o nullo. Quindi ci basta escludere quando $ |x|=0 $ ovvero proprio per $ x=0 $ ... $ f:]-infty;0[cup]0;+infty[ $
$ f(x)=x^2-5x-ln(|x|) $
$ f'(x)=d/(dx)f(x)=2x-5-|x|/(x)*1/|x|=2x-4-1/x $ passiamo direttamente alla derivata seconda
$ f''(x)=d/(dx)f'(x)=2+1/x^2 $ palesemente positiva $ forallx inR $
quindi la funzione è convessa su tutto il dominio.
grazie per la risposta! no, il professore non ha fatto alcune restrizione..... penso abbia sbagliato
"Rigel":
[quote="Ilprincipiante"]studio della derivata seconda:
$ f^2 (x)= (2x^2+1)/x^2 $ che è positiva per per qualsiasi valore di $ R-{0} $
come risposta conclusiva io direi che la funzione è convessa nell'intervallo : $ (-oo;0) uu (0;+oo) $
La derivata seconda è positiva in ciascuno dei due intervalli \( (-\infty, 0) \) e \( (0, +\infty) \).
Di conseguenza la funzione è convessa in ciascuno dei due intervalli; non è corretto dire che è convessa nella loro unione (che, peraltro, non è nemmeno un intervallo).[/quote]
hai ragione questa volta ho usato il simbolo dell'unione tra due intervalli in modo scorretto; grazie per l'osservazione
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