Studio convergenza successione di funzione

[CristianMascia1]

Devo studiare la convergenza puntuale e uniforme su $RR$ di questa successione di funzione

$f_n(x) = n^2x^2(1-x)^n$

Studio la convergenza puntuale facendo:

$\lim_{n \to \+infty}f_n = {(0, if 0<=x<2),(+oo ,if x<0),(text(Non definito),if x>2):}$

Quindi $f_n$ converge verso $f$ nell'intervallo $]-oo,2[$

$f(x) = {(0, if 0<=x<2),(+oo ,if x<0):}$

Per $x > 2$ $f_n$ non converge puntualmente e quindi uniformemente

Adesso studio la convergenza uniforme solo nell'intervallo $[0,2[$
Calcolo il sup di $f_n$ che si trova in $x_0=2/(n+2)$ adesso faccio

$lim_(n->+oo)f_n(x_0) = lim_(n->+oo)4n^2/(2+n)^2(1-2/(n+2))^n = 4/e^2 $

Volevo sapere se è corretto studiare la convergenza uniforme solo in $[0,2[$ visto che in $]-oo,0[$ $f(x)$ valeva $+oo$
Inoltre volevo sapere se ho operato bene, ovvero ho calcolato il sup controllando quando la derivata di $abs(f_n - f(x))$ si annulli

[otta96]

"CristianMascia":Volevo sapere se è corretto studiare la convergenza uniforme solo in $[0,2[$ visto che in $]-oo,0[$ $f(x)$ valeva $+oo$

Si va bene perché non ha tanto senso studiare la convergenza uniforme se la successione di funzioni diverge.
Dovresti però studiare anche i sottoinsiemi in cui la convergenza uniforme (che in generale non coincidono con l'insieme se la convergenza non è uniforme).

Inoltre volevo sapere se ho operato bene, ovvero ho calcolato il sup controllando quando la derivata di $abs(f_n - f(x))$ si annulli

I calcoli che hai fatto sono tutti giusti, ma la conclusione qual è?

[CristianMascia1]

Giusto, non ho scritto la conclusione, $f_n$ non converge uniformemente in $[0,2[$
Non so come studiare la convergenza nei sotto insiemi

[CristianMascia1]

Avevo un altro dubbio in tal caso avessi una funzione limite di questo tipo

$f(x)={(1,if 0<=x<3),(2,if x<0),(3, if x>=3):}$

Posso concludere dicendo che l eventuale $f_n$ non converge uniformemente su tutto $RR$ visto che la funzione limite non é continua? E quindi andarne a studiare la convergenza uniforme nei tre sotto insiemi di $RR$?

[cooper1]

mi permetto di fare un appunto: secondo me la tua funzione limite è sbagliata. nella definizione di convergenza puntuale si parla appunto di convergenza: $f_n -> f $ puntualmente se la successione $(f_n(x_0))_(n in NN)$ $AAx_0$. e quindi escluderei un limite che risulta infinito.

[CristianMascia1]

Giusto, quindi in $f(x)$ dovrei direttamente evitare gli intervalli in cui il limite non é finito, e quindi $f_n$ converge puntualmente solo in $[0,2[$?

[otta96]

Esatto, comunque per studiare la convergenza uniforme sui sottoinsiemi non c'è niente di strano devi fare le stesse cose che fai sempre, ma non su tutto l'insieme di convergenza, ma su uno più piccolo.

[CristianMascia1]

Grazie

[otta96]

Prego.