Studio convergenza serie,mi dite se è corretto...
Ciao a tutti ragazzi,ho risolto questo esercizio seguente e volevo chiedervi se l'ho svolto correttamente...grazie...
Studiare al variare del parametro x in R la convergenza e l'assoluta convergenza della serie
$ sum_(n = 1)^(oo) x^n log (1 +1/sqrt(n) ) $
Inizio con la convergenza assoluta: $ sum_(n = 1)^(oo) |x|^n log (1 +1/sqrt(n) ) $
applico il criterio del rapporto: $ (|x|^(n+1)log (1 +1/sqrt(n+1)))/(|x|^(n)log (1 +1/sqrt(n)) $ = $ (|x| ^n |x|) /|x| ^n log (1 +1/sqrt(n+1))/log (1 +1/sqrt(n)) $ di cui il rapporto tra i logaritmi tende ad 1 e quindi mi rimane solo $|x|$.
Quindi se $|x|<1$ la serie converge, se $|x|>1$ diverge se $|x|=1$ diverge.
Per quanto riguarda $|x|>1$ diverge assolutamente ma non è detto che diverga anche la serie di partenza quindi analizzandolo meglio vado a sostituire alla serie di partenza i valori della x con $|x|>1$ (x>1,x<-1) e verra che con x>1 la serie diverge e con x<-1 applico Leibnitz che mi dice che la serie non converge.
Studiare al variare del parametro x in R la convergenza e l'assoluta convergenza della serie
$ sum_(n = 1)^(oo) x^n log (1 +1/sqrt(n) ) $
Inizio con la convergenza assoluta: $ sum_(n = 1)^(oo) |x|^n log (1 +1/sqrt(n) ) $
applico il criterio del rapporto: $ (|x|^(n+1)log (1 +1/sqrt(n+1)))/(|x|^(n)log (1 +1/sqrt(n)) $ = $ (|x| ^n |x|) /|x| ^n log (1 +1/sqrt(n+1))/log (1 +1/sqrt(n)) $ di cui il rapporto tra i logaritmi tende ad 1 e quindi mi rimane solo $|x|$.
Quindi se $|x|<1$ la serie converge, se $|x|>1$ diverge se $|x|=1$ diverge.
Per quanto riguarda $|x|>1$ diverge assolutamente ma non è detto che diverga anche la serie di partenza quindi analizzandolo meglio vado a sostituire alla serie di partenza i valori della x con $|x|>1$ (x>1,x<-1) e verra che con x>1 la serie diverge e con x<-1 applico Leibnitz che mi dice che la serie non converge.
Risposte
Non interessa proprio a nessuno?
La tua funzione è riconducibile a questa: $x^n/n^(1/2)$
Evidentemente divergente per $|x|>= 1$, convergente per $|x|<1$
Evidentemente divergente per $|x|>= 1$, convergente per $|x|<1$
Ti faccio solo notare che il criterio del rapporto non dice nulla se il limite superiore è maggiore o uguale ad 1, e quindi potresti incorrere nell'errore(questo non è il caso) di avere, per certi valori di $x$, che la tua serie converga mentre il criterio del rapporto ti dice che non lo sa!
Questo perchè c'è una relazione tra il limite superiore del criterio della radice e quello del rapporto per cui quest'ultimo è maggiore al più uguale al primo.
Il criterio corretto da utilizzare per studiare la convergenza di questi tipi di serie (serie di potenze) è quello della radice.
La tua dimostrazione è corretta ma superflua, lo stesso risultato potevi ottenerlo con un colpo d'occhio, bastava che osservassi che i coefficienti della serie di potenze formano una successione decrescente tendente a zero, mentre le somme parziali della serie i cui termini sono le potenze ennesime di $x$ è limitata solo nel segmento da te stabilito.
Inoltra mi risulta che hai stabilito la divergenza in $+1$ e $-1$ troppo frettolosamente, usando il criterio del rapporto non so come puoi fare a dirlo, perchè la tendenza a 1 del limite, non è la stessa cosa che dire che quel rapporto è definitivamente maggiore o uguale a 1.
Questo perchè c'è una relazione tra il limite superiore del criterio della radice e quello del rapporto per cui quest'ultimo è maggiore al più uguale al primo.
Il criterio corretto da utilizzare per studiare la convergenza di questi tipi di serie (serie di potenze) è quello della radice.
La tua dimostrazione è corretta ma superflua, lo stesso risultato potevi ottenerlo con un colpo d'occhio, bastava che osservassi che i coefficienti della serie di potenze formano una successione decrescente tendente a zero, mentre le somme parziali della serie i cui termini sono le potenze ennesime di $x$ è limitata solo nel segmento da te stabilito.
Inoltra mi risulta che hai stabilito la divergenza in $+1$ e $-1$ troppo frettolosamente, usando il criterio del rapporto non so come puoi fare a dirlo, perchè la tendenza a 1 del limite, non è la stessa cosa che dire che quel rapporto è definitivamente maggiore o uguale a 1.
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