Studio convergenza serie di funzioni con funzione trigonometrica
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^ne^{(-2nx^2)}\sin(1/n)} \)
Io parto dall disuaguaglianza vera per ogni $x$:
$\frac{|\sin(1/n)|}{\e^{(2nx^2)}}<=\frac{1}{\e^{(2nx^2)}}$, per il teorema del confronto la serie converge puntualmente per ogni $x$, dato che la serie avente come termine generale la funzione a destra della disugliaglianza per il criterio della radice converge.
Per la convergenza totale : $\frac{1}{\e^{(2nx^2)}} <= \frac{1}{\e^{(2n)}}$ per ogni $x \in R\\(-1,1)$.
Su questo studio che ho fatto ho dei dubbi perché se ad esempio mi calcolo l'estremo superiore del termine generale in valore assoluto ottengo che si trova nel punto $x=0$ dove la funzione vale $|\sin(1/n)|$ che diverge dal criterio del confronto asintotico.
Io parto dall disuaguaglianza vera per ogni $x$:
$\frac{|\sin(1/n)|}{\e^{(2nx^2)}}<=\frac{1}{\e^{(2nx^2)}}$, per il teorema del confronto la serie converge puntualmente per ogni $x$, dato che la serie avente come termine generale la funzione a destra della disugliaglianza per il criterio della radice converge.
Per la convergenza totale : $\frac{1}{\e^{(2nx^2)}} <= \frac{1}{\e^{(2n)}}$ per ogni $x \in R\\(-1,1)$.
Su questo studio che ho fatto ho dei dubbi perché se ad esempio mi calcolo l'estremo superiore del termine generale in valore assoluto ottengo che si trova nel punto $x=0$ dove la funzione vale $|\sin(1/n)|$ che diverge dal criterio del confronto asintotico.
Risposte
Se $x\in(-1,1)$ allora
$$0\le x^2 <1\ \Rightarrow\ 1\le e^{2n x^2}< e^{2n}\ \Rightarrow\ \frac{1}{e^{2n}} <\frac{1}{e^{2nx^2}}\le 1$$
Come vedi il tuo ragionamento fa acqua da tutte le parti.
$$0\le x^2 <1\ \Rightarrow\ 1\le e^{2n x^2}< e^{2n}\ \Rightarrow\ \frac{1}{e^{2n}} <\frac{1}{e^{2nx^2}}\le 1$$
Come vedi il tuo ragionamento fa acqua da tutte le parti.
Infatti non converge totalmente in $R$, perché la serie avente l'estremo superiore come termine generale diverge.
Avevo letto male. La convergenza totale va bene, come dici, per $x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$.
A questo punto dovresti capire cosa accade per $x\in[-1,1]$. Osserva che ciò equivale a studiare il comportamento per $x\in[0,1]$, dal momento che compare $x^2$. Per prima cosa, osserva che se $x=0$ la serie si riduce a quella con termine generale $(-1)^n\sin(1/n)$ e questa converge per il criterio di Leibniz, in quanto $\lim_{n\to+\infty}\sin(1/n)=0$ e $\sin(1/{n+1})<\sin (1/n)$.
Hai idee su come ragionare per la convergenza puntuale per $x\in(0,1]$?
A questo punto dovresti capire cosa accade per $x\in[-1,1]$. Osserva che ciò equivale a studiare il comportamento per $x\in[0,1]$, dal momento che compare $x^2$. Per prima cosa, osserva che se $x=0$ la serie si riduce a quella con termine generale $(-1)^n\sin(1/n)$ e questa converge per il criterio di Leibniz, in quanto $\lim_{n\to+\infty}\sin(1/n)=0$ e $\sin(1/{n+1})<\sin (1/n)$.
Hai idee su come ragionare per la convergenza puntuale per $x\in(0,1]$?
Utilizzando il criterio del rapporto si ha che converge a $1/(e^(2x^2)) < 1 $. per $x != 0$.
"blob84":
Utilizzando il criterio del rapporto si ha che converge a $1/(e^(2x^2)) < 1 $. per $x != 0$.
Non puoi usare il criterio del rapporto per la serie originale, visto che non è a termini costanti. Magari per quella dei valori assoluti. Per cui per quella con termine generale $1/{e^{2nx^2}}\cdot\sin(1/n)$, da cui ottieni
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{e^{2(n+1)x^2}}\cdot\sin\frac{1}{n+1}\cdot\frac{e^{2nx^2}}{\sin\frac{1}{n}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}\cdot e^{-2x^2}=e^{-2x^2}$$
che è minore di uno quando $-2x^2<0$, cioè per ogni$x\ne 0$. D'altra parte il caso per $x=0$ lo abbiamo già analizzato.
Per cui concludi che su $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ c'è convergenza totale, mentre su $[-1,0)\cup(0,+1]$ convergenza assoluta (puntale)e quindi convergenza. Infine su $x=0$ convergenza puntuale per Leibnizi.
Ora bisogna analizzare il comportamento della convergenza uniforme su $[-1,1]$.
Non ho idea di come fare per la convergenza uniforme.
Potresti per prima cosa vedere se NON c'è convergenza uniforme su tale insieme. Ricorda che vale il risultato seguente: Se una serie converge uniformemente su $A$, allora
$$\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|=0$$
essendo $f(x)$ il limite puntuale per $x\in A$ fissato. Per cui se tale limite non è zero, automaticamente non hai convergenza uniforme.
P.S.: ricorda sempre di usare la serie dei valori assoluti.
$$\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|=0$$
essendo $f(x)$ il limite puntuale per $x\in A$ fissato. Per cui se tale limite non è zero, automaticamente non hai convergenza uniforme.
P.S.: ricorda sempre di usare la serie dei valori assoluti.
Comunque la funzione $f(x)$ è 0. L'estremo superiore come avevo già detto di $f_n(x)$ è $sin(1/n)$ nel punto $x = 0$ che tende a $0$ per $n->\infty$, quindi c'è convergenza uniforme su tale insieme.
Non ne ho idea ci come procedere, ma in base ai tuoi calcoli converge o no uniformemente?
Non ne ho idea ci come procedere, ma in base ai tuoi calcoli converge o no uniformemente?
Sull'insieme $[-1,1]$ come dicevi giustamente $f(x)=0$ e pertanto
$$\sup_{x\in[-1,1]}\left|f_n(x)\right|=\max_{x\in[-1,1]}\frac{1}{e^{2nx^2}}\cdot\sin\frac{1}{n}$$
Poiché
$$|f_n(x)|'=-\frac{4nx}{e^{4nx^2}}\cdot\sin\frac{1}{n}$$
tale massimo si ha per $x=0$ dove $f_n(0)=\sin\frac{1}{n}\to 0$per $n\to 0$. Per cui hai convergenza uniforme su $[-1,1]$.
$$\sup_{x\in[-1,1]}\left|f_n(x)\right|=\max_{x\in[-1,1]}\frac{1}{e^{2nx^2}}\cdot\sin\frac{1}{n}$$
Poiché
$$|f_n(x)|'=-\frac{4nx}{e^{4nx^2}}\cdot\sin\frac{1}{n}$$
tale massimo si ha per $x=0$ dove $f_n(0)=\sin\frac{1}{n}\to 0$per $n\to 0$. Per cui hai convergenza uniforme su $[-1,1]$.
Ma non dovrebbe essere su tutto $R$ $f(x)=0$? perché solo su quell'intervallo, $f_n(x)$ converge puntualmente verso la funzione nulla.
Sì, sì, quello è ovvio. Ma abbiamo già visto che per $x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ la serie converge totalmente e quindi uniformemente. E' inutile andarlo a ricalcolare (anche perché io ho parlato di convergenza puntuale solo su $[-1,1]$ visto che sul resto avevamo già stabilito cosa accadesse).
scusa invece tu che faresti per questa serie:
$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n\log(1+x^4/n^3)$
Converge puntualmente perché il termine generale è equivalente a $x^4/n^2$, per $x \in R$.Per la convergenza uniforme come per la serie precedente $f(x)=0$ e l'estremo superiore del termine generale a occhio sembra che tenda ad infinito per $x->+\infty$, quindi non dovrebbe convergere né totalmente né uniformemente, ma sinceramente non trovo nessun modo per mostrare questo. La derivata prima non è facile da studiare.
$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n\log(1+x^4/n^3)$
Converge puntualmente perché il termine generale è equivalente a $x^4/n^2$, per $x \in R$.Per la convergenza uniforme come per la serie precedente $f(x)=0$ e l'estremo superiore del termine generale a occhio sembra che tenda ad infinito per $x->+\infty$, quindi non dovrebbe convergere né totalmente né uniformemente, ma sinceramente non trovo nessun modo per mostrare questo. La derivata prima non è facile da studiare.
Allora, andiamo con ordine. Per prima cosa la serie è definita per ogni $x\in RR$ in quanto $1+x^4/n>1$. Ora, se analizziamo la serie dei valori assoluti abbiamo che
$$n\cdot\log\left(1+\frac{x^4}{n}\right)\sim n\cdot\frac{x^4}{n}=x^4$$
per cui tale serie non converge in quanto sarebbe equivalente per confronto asintotico alla serie costante $\sum_{n=1}^\infty x^2$che diverge.
D'altro canto, usando Leibniz si ha, per ogni $x$ fissato
$$\lim_{n\to+\infty} n\log\left(1+\frac{x^4}{n}\right)=x^4$$
e pertanto la condizione di convergenza di Leibniz vale solo se $x^4=0$.... che tuttavia è un assurdo, in quanto in tal caso la serie si riduce a questa $\sum_{n=1}(-1)^n n$che è indeterminata.
Pertanto la serie non converge mai neanche puntualmente.
$$n\cdot\log\left(1+\frac{x^4}{n}\right)\sim n\cdot\frac{x^4}{n}=x^4$$
per cui tale serie non converge in quanto sarebbe equivalente per confronto asintotico alla serie costante $\sum_{n=1}^\infty x^2$che diverge.
D'altro canto, usando Leibniz si ha, per ogni $x$ fissato
$$\lim_{n\to+\infty} n\log\left(1+\frac{x^4}{n}\right)=x^4$$
e pertanto la condizione di convergenza di Leibniz vale solo se $x^4=0$.... che tuttavia è un assurdo, in quanto in tal caso la serie si riduce a questa $\sum_{n=1}(-1)^n n$che è indeterminata.
Pertanto la serie non converge mai neanche puntualmente.
Ho sagliato a calcolare il limite prima, non me ne ero accorto, poi $x^4>- n^3$ per ogni $x$.
Ok grazie.
Ok grazie.
scusa la serie era $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n\log(1+x^4/n^3)$ perciò la mia analisi era come era 
.
.
Ah ecco, allora è diversa la cosa. La serie è definita comunque su tutto $RR$ in quanto $1+x^4/n^3\ge 1$. Possiamo concentrare l'analisi sempre per le $x>0$ (il caso $x=0$ è banale), vista la parità della funzione. Ora, applichiamo direttamente Leibniz per la convergenza puntuale: si ha
$$\lim_{n\to\infty} n\log\left(1+\frac{x^4}{n^3}\right)=\lim_{n\to\infty} n\cdot\frac{x^4}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{x^4}{n^2}=0$$
per ogni $x\ge 0$ (e quindi per ogni $x$), mentre per verificare se la successione è decrescente, facciamo un "trucco": consideriamo la funzione, per ogni $x$ fissato e definita per $t>0$
$$g(t)=t\log\left(1+\frac{x^4}{t^3}\right)$$
Osserva che
$$\lim_{t\to 0^+} g(t)=0,\quad \lim_{t\to+\infty} g(t)=0,\quad g(t)>0$$
Dal momento che la funzione è continua per $t>0$, esiste un massimo per essa (non semplice da calcolare), dal quale punto in poi la funzione decresce. Per cui, per il criterio di Leibniz, possiamo affermare che esisterà un $n_0$ (in corrispondenza del punto di massimo per $g$) tale per cui $|f_n(x)|> |f_{n+1}(x)|$ per ogni $n>n_0$, essendo $f_n(x)=(-1)^n n\log(1+x^4/n^3)$. Pertanto il criterio di Leibniz è verificato e la serie converge puntualmente dappertutto. Inoltre $f(x)=0$ per ogni $x\in RR$.
Andiamo a vedere allora cosa accade al massimo della funzione
$$|f_n(x)|=n\log\left(1+\frac{x^4}{n^3}\right)$$
Derivando rispetto ad $x$
$$|f_n(x)|'=n\cdot\frac{1}{1+x^4/n^3}\cdot \frac{4x^3}{n^3}=\frac{4n x^3}{n^3+x^4}$$
La funzione ammette minimo in $x=0$ (la derivata è negativa per $x<0$, positiva per $x>0$) ma non massimo (la funzione infatti diverge per $x\to\pm\infty$) quindi non c'è convergenza uniforme su tutto $RR$. Se invece consideriamo un intervallo $[0,a]$ con $a>0$, possiamo dedurre che la funzione ammette massimo proprio nel punto $a$ e si ha
$$|f_n(a)|=n\log\left(1+\frac{a^4}{n^3}\right)\to 0$$
quando $n\to\infty$. Pertanto la serie converge su ogni sotto intervallo degli intervalli della forma $[-a,a]$ (ricorda la questione di simmetria precedente).
Spero di non essermi dimenticato niente.
$$\lim_{n\to\infty} n\log\left(1+\frac{x^4}{n^3}\right)=\lim_{n\to\infty} n\cdot\frac{x^4}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{x^4}{n^2}=0$$
per ogni $x\ge 0$ (e quindi per ogni $x$), mentre per verificare se la successione è decrescente, facciamo un "trucco": consideriamo la funzione, per ogni $x$ fissato e definita per $t>0$
$$g(t)=t\log\left(1+\frac{x^4}{t^3}\right)$$
Osserva che
$$\lim_{t\to 0^+} g(t)=0,\quad \lim_{t\to+\infty} g(t)=0,\quad g(t)>0$$
Dal momento che la funzione è continua per $t>0$, esiste un massimo per essa (non semplice da calcolare), dal quale punto in poi la funzione decresce. Per cui, per il criterio di Leibniz, possiamo affermare che esisterà un $n_0$ (in corrispondenza del punto di massimo per $g$) tale per cui $|f_n(x)|> |f_{n+1}(x)|$ per ogni $n>n_0$, essendo $f_n(x)=(-1)^n n\log(1+x^4/n^3)$. Pertanto il criterio di Leibniz è verificato e la serie converge puntualmente dappertutto. Inoltre $f(x)=0$ per ogni $x\in RR$.
Andiamo a vedere allora cosa accade al massimo della funzione
$$|f_n(x)|=n\log\left(1+\frac{x^4}{n^3}\right)$$
Derivando rispetto ad $x$
$$|f_n(x)|'=n\cdot\frac{1}{1+x^4/n^3}\cdot \frac{4x^3}{n^3}=\frac{4n x^3}{n^3+x^4}$$
La funzione ammette minimo in $x=0$ (la derivata è negativa per $x<0$, positiva per $x>0$) ma non massimo (la funzione infatti diverge per $x\to\pm\infty$) quindi non c'è convergenza uniforme su tutto $RR$. Se invece consideriamo un intervallo $[0,a]$ con $a>0$, possiamo dedurre che la funzione ammette massimo proprio nel punto $a$ e si ha
$$|f_n(a)|=n\log\left(1+\frac{a^4}{n^3}\right)\to 0$$
quando $n\to\infty$. Pertanto la serie converge su ogni sotto intervallo degli intervalli della forma $[-a,a]$ (ricorda la questione di simmetria precedente).
Spero di non essermi dimenticato niente.
Quindi la successione è decrescente, mentre la funzione è crescente, wow!
Grazie del trucco non ci avevo mai pensato.
Grazie del trucco non ci avevo mai pensato.
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