Studio convergenza serie di funzioni
Considero la serie di funzioni $\sum_{n=1}^(oo) a_n(x)=\sum_{n=1}^(oo) e^(nx^2-n^2x)$, $x\inRR$.
Per $n$ sufficientenemente grande ho che il termine $-n^2x$ domina il termine $nx^2$ dunque per $x<0$ si ha $\lim_{n \to \infty}a_n(x)=oo$ quindi non può esserci convergenza puntuale (e quindi nemmeno uniforme).
Per $x=0$ si ha $\sum_{n=1}^(oo) a_n(0)=\sum_{n=1}^(oo) 1=oo$ quindi non si ha convergenza puntuale (e quindi nemmeno uniforme).
Considero $x>0$, presi $epsilon,M\inRR$ tali che $0
Fino a qui è corretto?
Rimane da studiare la convergenza su $]0,epsilon[$ e su $]M,oo[$.
Come posso studiarla?
Per $n$ sufficientenemente grande ho che il termine $-n^2x$ domina il termine $nx^2$ dunque per $x<0$ si ha $\lim_{n \to \infty}a_n(x)=oo$ quindi non può esserci convergenza puntuale (e quindi nemmeno uniforme).
Per $x=0$ si ha $\sum_{n=1}^(oo) a_n(0)=\sum_{n=1}^(oo) 1=oo$ quindi non si ha convergenza puntuale (e quindi nemmeno uniforme).
Considero $x>0$, presi $epsilon,M\inRR$ tali che $0
Fino a qui è corretto?
Rimane da studiare la convergenza su $]0,epsilon[$ e su $]M,oo[$.
Come posso studiarla?
Risposte
Ciao!
Ad esser sincero,nel caso $x>0$(gli altri li hai ben trattati tu,direi..),
avrei semplicemente osservato che $EElim_(n to oo)(e^(nx^2-n^2x))^(1/n)=lim_(n to oo)e^(x^2-nx)=..=0<1$ $AAx in(0,+oo)$:
in $RR^+$ la tua serie di funzioni è allora semplicemente convergente per il teorema di Cauchy-Hadmard sulle serie numeriche..
Per quanto riguarda poi l'uniforme convergenza in$(0,+oo)$ basta osservare come,fosse vera,
indicata con $f(x)=0:(0,+oo) to RR$ la funzione cui converge puntualmente il termine generale della tua serie di funzioni avremmo che $EElim_(n to oo)text{sup}_(x in(0,+oo))|f_n(x)-f(x)|=0$:
e ad occhio e croce questo fatto mi pare contrasti con l'essere
$|f_n(x)-f(x)|=e^(nx^2-n^2x)>=e^(-n^2x)$ $AAn inNN,x in(0,+oo)$(disuguaglianza d'immediata verificabilità)$rArr$
$rArrtext{sup}_(x in(0,+oo))|f_n(x)-f(x)|>=text{sup}_(x in(0,+oo))e^(-n^2x)=1$ $AAn inNN$..
Saluti dal web.
Ad esser sincero,nel caso $x>0$(gli altri li hai ben trattati tu,direi..),
avrei semplicemente osservato che $EElim_(n to oo)(e^(nx^2-n^2x))^(1/n)=lim_(n to oo)e^(x^2-nx)=..=0<1$ $AAx in(0,+oo)$:
in $RR^+$ la tua serie di funzioni è allora semplicemente convergente per il teorema di Cauchy-Hadmard sulle serie numeriche..
Per quanto riguarda poi l'uniforme convergenza in$(0,+oo)$ basta osservare come,fosse vera,
indicata con $f(x)=0:(0,+oo) to RR$ la funzione cui converge puntualmente il termine generale della tua serie di funzioni avremmo che $EElim_(n to oo)text{sup}_(x in(0,+oo))|f_n(x)-f(x)|=0$:
e ad occhio e croce questo fatto mi pare contrasti con l'essere
$|f_n(x)-f(x)|=e^(nx^2-n^2x)>=e^(-n^2x)$ $AAn inNN,x in(0,+oo)$(disuguaglianza d'immediata verificabilità)$rArr$
$rArrtext{sup}_(x in(0,+oo))|f_n(x)-f(x)|>=text{sup}_(x in(0,+oo))e^(-n^2x)=1$ $AAn inNN$..
Saluti dal web.
Se per $x\in(0,M)$ vado a controllare se la serie converge totalmente ho che $||e^(nx^2-n^2x)||_(oo)=e^(-n^3/4)$ e la serie $\sum_{n=1}^(oo) e^(-n^3/4)$ converge per il criterio della radice.
Dunque la mia serie di funzioni è totalmente convergente su $(0,M)$ e quindi anche uniformemente convergente.
Immagino che nel mio ragionamente qualcosa non quadri visto che ottengo la convergenza uniforme (che non dovrebbe esserci) ma non capisco dov'è il problema...
Dunque la mia serie di funzioni è totalmente convergente su $(0,M)$ e quindi anche uniformemente convergente.
Immagino che nel mio ragionamente qualcosa non quadri visto che ottengo la convergenza uniforme (che non dovrebbe esserci) ma non capisco dov'è il problema...
A me par che,$AAn inNN$,quel $-(n^3)/4$ sia minimo assoluto della $h_n(x)=nx^2-n^2x:(0,+oo)toRR$
(la parabola,della quale stiamo considerando il ramo $G_(h_n)$,
ha infatti quel vertice nel IV° Quadrante come "punto più basso",essendo positivo il nostro arbitrario $n$..);
dunque tu puoi dir solo,essendo $e>1$,che $|f_n(x)|=e^(nx^2-n^2x)>=e^(-(n^3)/4)$ $AAx in(0,M)subset(0,+oo)$:
e questo non t'è utile,per affermarne l'uniforme convergenza in $(0,M)$..
Se poi sei interessato a confermare(o smentire..)l'uniforme convergenza della tua serie di funzioni in ogni intervallo,
chiuso e limitato contenuto in $(0,+oo),
ragionaci un pò e nel caso fà un fischio:
nel frattempo,se riuscirò a farlo tra un piatto di panzotti al pistacchio,un involtino e,se è rimasta,un pò di crostata,
provo a rifletterci sù pure io
!
Saluti dal web.
(la parabola,della quale stiamo considerando il ramo $G_(h_n)$,
ha infatti quel vertice nel IV° Quadrante come "punto più basso",essendo positivo il nostro arbitrario $n$..);
dunque tu puoi dir solo,essendo $e>1$,che $|f_n(x)|=e^(nx^2-n^2x)>=e^(-(n^3)/4)$ $AAx in(0,M)subset(0,+oo)$:
e questo non t'è utile,per affermarne l'uniforme convergenza in $(0,M)$..
Se poi sei interessato a confermare(o smentire..)l'uniforme convergenza della tua serie di funzioni in ogni intervallo,
chiuso e limitato contenuto in $(0,+oo),
ragionaci un pò e nel caso fà un fischio:
nel frattempo,se riuscirò a farlo tra un piatto di panzotti al pistacchio,un involtino e,se è rimasta,un pò di crostata,
provo a rifletterci sù pure io
!Saluti dal web.
Si hai ragione, ho trattato il punto di minimo come se fosse un punto di massimo 
L'uniforme convergeza su ogni chiuso e limitato contenuto in $(0,oo)$ l'ho già mostrata nel primo post, quello che cercavo di mostrare ora è la (non) convergenza uniforme sull'intervallo $(0,M)$.
L'uniforme convergeza su ogni chiuso e limitato contenuto in $(0,oo)$ l'ho già mostrata nel primo post, quello che cercavo di mostrare ora è la (non) convergenza uniforme sull'intervallo $(0,M)$.
Proprio un bel modo di digerire ma,forse,è proprio vero che a pancia piena si ragiona meglio !
Intanto devo scusarmi con te,ora che noto d'aver letto con troppa superficialità quanto hai scritto nel primo post;
magari è accaduto perchè,mente lo facevo,seguivo già una certa idea che mi pareva potesse portare a conclusioni corrette in modo concettualmente più semplice e meno "rischioso" del tuo procedimento
(l'aggettivo l'ho virgolettato perchè avevo,ed ho,
l'impressione che gli enti fissati nel tuo ragionamento non siano del tutto indipendenti dalla $x$,
trattati come hai fatto..):
facciamo che te la mostro e poi,stabilitane nel caso la bontà,
parliamo dei tuoi eventuali errori d'approccio al problema dell'OP,va bene?
A me sembra intanto che,
fissati a piacere $a,b in(0,+oo)$ $t.c.$ $a ne b$
(allo stato attuale considero quel generico intervallo chiuso e limitato $I$ anche connesso,
perchè mi par che pure se non lo fosse il ragionamento che m'accingo a fare si potrebbe allargare,in modo naturale,
anche al caso di non connessione di $I$ ..)
ed ammesso $a
(per farlo bastera considerare i tre archi di parabola corrispondenti a tutti i tre casi possibili del confronto tra $a,b$ ed $n/2$..):
la totale,e dunque uniforme,convergenza in $[a,b]$ della tua serie di funzioni è allora conseguenza di tale disuguaglianza e della convergenza della serie numerica al II° membro deducibile,ad esempio,col criterio della radice..
La ragione per la quale non s'ha uniforma convergenza in alcun intervallo del tipo $(0,M)$ o $(0,M]$ è che,
sulla falsariga di quanto ho detto nel primo post di risposta,
sarà possibile dimostrare come $s up_(x in(0,M))|f_n(x)-f(x)|>=s up_(x in(0,M))e^(-n^2x)=1$ $AAn inNN$(1):
dunque non potrà esser verificata la nota condizione necessaria sull'uniforma convergenza delle serie di funzioni,
a meno di non voler accettare,passando al limite per $n to oo$ i due membri della (1),che $0>=1$
(e lo stesso discorso sarebbe ripetibile in $(0,M]$!)..
Ti trovi?
Saluti dal web.
!Intanto devo scusarmi con te,ora che noto d'aver letto con troppa superficialità quanto hai scritto nel primo post;
magari è accaduto perchè,mente lo facevo,seguivo già una certa idea che mi pareva potesse portare a conclusioni corrette in modo concettualmente più semplice e meno "rischioso" del tuo procedimento
(l'aggettivo l'ho virgolettato perchè avevo,ed ho,
l'impressione che gli enti fissati nel tuo ragionamento non siano del tutto indipendenti dalla $x$,
trattati come hai fatto..):
facciamo che te la mostro e poi,stabilitane nel caso la bontà,
parliamo dei tuoi eventuali errori d'approccio al problema dell'OP,va bene?
A me sembra intanto che,
fissati a piacere $a,b in(0,+oo)$ $t.c.$ $a ne b$
(allo stato attuale considero quel generico intervallo chiuso e limitato $I$ anche connesso,
perchè mi par che pure se non lo fosse il ragionamento che m'accingo a fare si potrebbe allargare,in modo naturale,
anche al caso di non connessione di $I$ ..)
ed ammesso $a
(per farlo bastera considerare i tre archi di parabola corrispondenti a tutti i tre casi possibili del confronto tra $a,b$ ed $n/2$..):
la totale,e dunque uniforme,convergenza in $[a,b]$ della tua serie di funzioni è allora conseguenza di tale disuguaglianza e della convergenza della serie numerica al II° membro deducibile,ad esempio,col criterio della radice..
La ragione per la quale non s'ha uniforma convergenza in alcun intervallo del tipo $(0,M)$ o $(0,M]$ è che,
sulla falsariga di quanto ho detto nel primo post di risposta,
sarà possibile dimostrare come $s up_(x in(0,M))|f_n(x)-f(x)|>=s up_(x in(0,M))e^(-n^2x)=1$ $AAn inNN$(1):
dunque non potrà esser verificata la nota condizione necessaria sull'uniforma convergenza delle serie di funzioni,
a meno di non voler accettare,passando al limite per $n to oo$ i due membri della (1),che $0>=1$
(e lo stesso discorso sarebbe ripetibile in $(0,M]$!)..
Ti trovi?
Saluti dal web.
Riguardo l'uniforme convergenza sul chiuso e limitato $[a,b]$ sono d'accordo con te, anche se a mio avviso il procedimento che avevo fatto io era analogo, sfruttava però il fatto che fissato $M>0$ si ha che il vertice della parabola che ha ascissa $n/2$ è definitivamente maggiore di $M$ e grazie a questa considerazione seguiva che il $sup$ sull'intervallo $[epsilon,M]$ veniva raggiunto esattamente nel punto di ascissa $epsilon$.
Per quanto riguarda l'uniforme convergenza su $(0,M)$ qual'è la nota condizione necessaria sull'uniforme convergenza delle serie di funzioni a cui ti riferisci? Mi verrebbe da ipotizzare il fatto che la successione dei generici termini della serie debba convergere uniformemente ma non ne sono sicuro...
Per quanto riguarda l'uniforme convergenza su $(0,M)$ qual'è la nota condizione necessaria sull'uniforme convergenza delle serie di funzioni a cui ti riferisci? Mi verrebbe da ipotizzare il fatto che la successione dei generici termini della serie debba convergere uniformemente ma non ne sono sicuro...
"thedarkhero":
...Per quanto riguarda l'uniforme convergenza su $(0,M)$ qual'è la nota condizione necessaria sull'uniforme convergenza delle serie di funzioni a cui ti riferisci? Mi verrebbe da ipotizzare il fatto che la successione dei generici termini della serie debba convergere uniformemente ma non ne sono sicuro...
Mi riferisco alla proposizione che afferma come,
se $sum_(n=1)^(+oo)f_n(x)$ è una serie di funzioni uniformemente convergente in $I$,
allora $EElim_(n to oo)su p_(x inI)|f_n(x)|=0$:
saluti dal web.
Io sapevo che quella era una condizione necessaria affinchè la serie converga totalmente, non uniformemente. O forse mi sbaglio...
O.k..
Siano allora $emptyset ne X subeR$,
e ${S_n(x):X toRR}_(n inNN)$ la successione delle somme parziali associate alla generica serie di funzioni,tutte definite in $X$,$sum_(n=0)^(+oo)f_n(x)$(1)
(con ovviamente $f_n(x):X toRR$ $AAn inNN$);
ammessa ora per hp l'uniforme,e dunque puntuale,convergenza della (1) alla "funzione somma" $S(x):X to RR$,
notiamo che:
$0<=|f_n(x)|=|[S_n(x)-S(x)]-[S_(n-1)(x)-S(x)]|$ $AAn inNN-{-1},AAx inX$
(ciò perchè,dalla definizione di successione delle somme parziali associate alla (1),
discende immediatamente come $S_n(x)=S_(n-1)(x)+f_n(x)$ $AAn inNN-{-1},AAx inX$..)$rArr$
$rArr0<=|f_n(x)|<=|S_n(x)-S(x)|+|S_(n-1)(x)-S(x)|$ $AAn inNN-{-1},AAx inX$
(per la prima disuguaglianza triangolare..)$rArr$
$rArr0<=s u p_(x inX)|f_n(x)|<=s u p_(x inX)(|S_n(x)-S(x)|+|S_(n-1)(x)-S(x)|)<=$
$<=s u p_(x inX)|S_n(x)-S(x)|+s u p_(x inX)|S_(n-1)(x)-S(x)|$ $AAn inNN-{-1}$
(disuguaglianze,queste ultime,facilmente provabili con definizione e proprietà degli estremi superiori..).
La tesi della proposizione in questione è allora conseguenza,
passando al limite per $n to oo$ tutti i membri della precedente catena di disuguaglianze,
del teorema dei carabinieri e della nota condizione necessaria e sufficiente per la convergenza uniforme d'una succ. di funzioni
(qual'è,per hp,la ${S_n(x):X toRR}_(n inNN)$..):
saluti dal web.
Siano allora $emptyset ne X subeR$,
e ${S_n(x):X toRR}_(n inNN)$ la successione delle somme parziali associate alla generica serie di funzioni,tutte definite in $X$,$sum_(n=0)^(+oo)f_n(x)$(1)
(con ovviamente $f_n(x):X toRR$ $AAn inNN$);
ammessa ora per hp l'uniforme,e dunque puntuale,convergenza della (1) alla "funzione somma" $S(x):X to RR$,
notiamo che:
$0<=|f_n(x)|=|[S_n(x)-S(x)]-[S_(n-1)(x)-S(x)]|$ $AAn inNN-{-1},AAx inX$
(ciò perchè,dalla definizione di successione delle somme parziali associate alla (1),
discende immediatamente come $S_n(x)=S_(n-1)(x)+f_n(x)$ $AAn inNN-{-1},AAx inX$..)$rArr$
$rArr0<=|f_n(x)|<=|S_n(x)-S(x)|+|S_(n-1)(x)-S(x)|$ $AAn inNN-{-1},AAx inX$
(per la prima disuguaglianza triangolare..)$rArr$
$rArr0<=s u p_(x inX)|f_n(x)|<=s u p_(x inX)(|S_n(x)-S(x)|+|S_(n-1)(x)-S(x)|)<=$
$<=s u p_(x inX)|S_n(x)-S(x)|+s u p_(x inX)|S_(n-1)(x)-S(x)|$ $AAn inNN-{-1}$
(disuguaglianze,queste ultime,facilmente provabili con definizione e proprietà degli estremi superiori..).
La tesi della proposizione in questione è allora conseguenza,
passando al limite per $n to oo$ tutti i membri della precedente catena di disuguaglianze,
del teorema dei carabinieri e della nota condizione necessaria e sufficiente per la convergenza uniforme d'una succ. di funzioni
(qual'è,per hp,la ${S_n(x):X toRR}_(n inNN)$..):
saluti dal web.
Ok, mi hai convinto 
Ma se io semplicemente mostrassi che $\lim_{x \to 0^+}e^(nx^2-n^2x)=1$, quindi che la successione dei termini generali della serie non e' infinitesima, avrei finito giusto? Cioe' avrei mostrato che non c'e' convergenza puntuale su $(0,M)$ e dunque neanche uniforme.
Ma se io semplicemente mostrassi che $\lim_{x \to 0^+}e^(nx^2-n^2x)=1$, quindi che la successione dei termini generali della serie non e' infinitesima, avrei finito giusto? Cioe' avrei mostrato che non c'e' convergenza puntuale su $(0,M)$ e dunque neanche uniforme.
Non proprio:
avresti solo dimostrato una cosa che già sai,
ossia che per potersi parlare di convergenza puntuale della serie dobbiamo lavorare in intervalli non contenenti lo $0$..
Ho però la sensazione che,se vedi la cosa sotto un altro aspetto
(al quale mi stai facendo pensare tu,e te ne ringrazio..),
quel limite potrebbe esserti utile:
ricordi il teorema sulla continuità della funzione limite d'una successione di funzioni?
Applicalo,ammettendo per assurdo che essa converga uniformemente,
alla successione delle somme parziali associate alla tua serie:
forse s'arriva alla conclusione ormai nota in modo più veloce di quanto abbiamo fatto..
Saluti dal web.
avresti solo dimostrato una cosa che già sai,
ossia che per potersi parlare di convergenza puntuale della serie dobbiamo lavorare in intervalli non contenenti lo $0$..
Ho però la sensazione che,se vedi la cosa sotto un altro aspetto
(al quale mi stai facendo pensare tu,e te ne ringrazio..),
quel limite potrebbe esserti utile:
ricordi il teorema sulla continuità della funzione limite d'una successione di funzioni?
Applicalo,ammettendo per assurdo che essa converga uniformemente,
alla successione delle somme parziali associate alla tua serie:
forse s'arriva alla conclusione ormai nota in modo più veloce di quanto abbiamo fatto..
Saluti dal web.
Beh le $f_n$ sono sicuramente continue su $(0,M]$.
Supponiamo che su $(0,M]$ converga uniformemente la serie, e dunque la successione delle sue somme parziali.
In tal caso la serie convergerà ad una funzione $f$, anch'essa continua.
Il punto è...come faccio a vedere se questa $f$ è continua in $(0,M]$?
Supponiamo che su $(0,M]$ converga uniformemente la serie, e dunque la successione delle sue somme parziali.
In tal caso la serie convergerà ad una funzione $f$, anch'essa continua.
Il punto è...come faccio a vedere se questa $f$ è continua in $(0,M]$?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo