Studio Convergenza Serie di funzioni

[andreaderobertis93]

Salve ho avuto problemi nello studio della convergenza di Una serie di funzioni:

$ \sum_{n=1}^{\propto } \frac{sen((2x)/n)}{n+4x^2} $

Qualcuno potrebbe darmi una mano? grazie

[Alegomind]

Cominciamo con una piccola equivalenza asintotica:

$lim_(n->oo) ((sen(2x/n))/(n+4x^2))/(((2x/n))/(n+4x^2))=1$ $Vx€R$

Dunque la tua serie ha il medesimo carattere della serie il cui termine generico è $(2x/n)/(n+4x^2)$

Studiamo la convergenza assoluta di quest'ultima:

$(2|x|)/(n^2(1+(4x^2)/n)$

Notiamo che:

$ lim_(n->oo) ((2|x|)/(n^2(1+(4x^2)/n)))/(1/(n^2))=2|x|$ $Vx€R$ Per il criterio del confronto asintotico, questa serie ha lo stesso carattere della serie armonica convergente $1/(n^2)$ e pertanto, essa converge assolutamente. Poichè la tua serie iniziale aveva il medesimo comportamento di quest'ultima, anche la tua serie iniziale convergerà assolutamente ( e quindi semplicemente) per ogni x appartenente ai reali.

[andreaderobertis93]

Grazie mille per la spiegazione molto chiara, posso chiederti per la convergenza uniforme e totale? Anche dei consigli perchè capisco che non c'è un metodo preciso per lo studio dei vari tipi di convergenza ma sto cercando di farmi delle linee guida.
Inoltre hai applicato il criterio del confronto asintotico, però la funzione sen(2x/n) può essere negativa e il criterio no si può applicare soltanto alle serie a termini positivi?

[Alegomind]

In effetti è stato un mio errore, sarebbe stato più corretto mettere prima il modulo e poi affrontare la stima asintotica, ma il risultato sarebbe stato lo stesso (almeno credo ahah). Comunque fino ad ora abbiamo affrontato solamente la convergenza puntuale, per quanto riguarda la convergenza uniforme la questione si fa parecchio più difficile.. e infatti si ricorre subito alla convergenza totale, ricorda infatti che se una serie di funzioni converge totalmente, allora converge anche uniformemente! Ricorda la definizione di convergenza totale:
$sum f_k(x)$ converge totalmente se il suo modulo può essere minorato con una serie sempre convergente, per farla più semplice, converge totalmente se $sum ||(f_k)||<+oo$
Cerchiamo di maggiorare la somma dei moduli $sum |sen(2x/n)|/(n+4x^2)$

Poichè $|sen(t)|<=|t|$, otteniamo la maggiorazione $|sen(2x/n)|/(n+4x^2)<=2|x|/(n(n+4x^2))$, ma abbiamo già visto che quest'ultima converge per qualsiasi valore di x. Poichè la tua serie di partenza può essere maggiorata da una serie sempre convergente, puoi concludere che converge totalmente, e quindi anche uniformemente.

[andreaderobertis93]

Grazie mille, e per quanto riguarda l'uso del criterio del confronto asintotico? posso usarlo anche nel caso di serie non a termini positivi?

[Alegomind]

"andreaderobertis93":Grazie mille, e per quanto riguarda l'uso del criterio del confronto asintotico? posso usarlo anche nel caso di serie non a termini positivi?

No, come detto è stato un mio errore, se hai una serie a termini negativi ( o alterni ) devi per prima cosa metterci i moduli per studiarne la convergenza assoluta, con il modulo diventano automaticamente serie a termini positivi, e allora puoi applicare il criterio del confronto asintotico