Studio convergenza serie di funzioni
Ciao ho questa serie di funzioni: \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{n log{(1+\frac{x}{n})}} {(n+x)^2}} \)
Ho notato che l'unico teorema che si può usare con questa serie è quello del confronto, il teorema della radice e del rapporto danno 1. Non trovo una stima appropriata però. Il libro dice che la serie converge per x>-1.
Ho notato che l'unico teorema che si può usare con questa serie è quello del confronto, il teorema della radice e del rapporto danno 1. Non trovo una stima appropriata però. Il libro dice che la serie converge per x>-1.
Risposte
Riscrivi la serie come $\sum_{n=1}^\infty \frac{\log[(1+\frac{x}{n})^n]}{(n+x)^2}$.
Studia poi la funzione $n \to \log[(1+\frac{x}{n})^n]$; in particolare le proprietà di monotonia (che dipendono da x) e il limite per $n \to +\infty$.
A questo punto dovresti essere in grado di concludere.
Studia poi la funzione $n \to \log[(1+\frac{x}{n})^n]$; in particolare le proprietà di monotonia (che dipendono da x) e il limite per $n \to +\infty$.
A questo punto dovresti essere in grado di concludere.
Non ho capito devo studiare la funzione \(\displaystyle \log[(1+\frac{x}{n})^n] \) ?
Però nel frattempo ho notato una altra cosa cioè che \(\displaystyle n \log(1+\frac{x}{n}) <= n \log(1+x) \) per ogni $n>=1, x>=0$.
La serie avente al numeratore del termine generale \(\displaystyle n \log(1+x) \) converge per il criterio del rapporto, pertanto converge anche la serie originale dal criterio del confronto.
Però nel frattempo ho notato una altra cosa cioè che \(\displaystyle n \log(1+\frac{x}{n}) <= n \log(1+x) \) per ogni $n>=1, x>=0$.
La serie avente al numeratore del termine generale \(\displaystyle n \log(1+x) \) converge per il criterio del rapporto, pertanto converge anche la serie originale dal criterio del confronto.
per $n rarr +infty$ si ha $ ln(1+x/n)~x/n $
quindi puoi ricondurti a studiare la serie di termine generale $x/(n+x)^2$
tenendo conto del fatto che puoi portare $x$ al di fuori della sommatoria,$x> -1$ assicura che per nessun $n$ il denominatore si annulla e quindi la serie converge avendo lo stesso carattere della serie di termine generale $1/n^2$
quindi puoi ricondurti a studiare la serie di termine generale $x/(n+x)^2$
tenendo conto del fatto che puoi portare $x$ al di fuori della sommatoria,$x> -1$ assicura che per nessun $n$ il denominatore si annulla e quindi la serie converge avendo lo stesso carattere della serie di termine generale $1/n^2$
ok grazie, mi era sfuggita quella equivalenza asintotica del logaritmo.
q
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