Studio convergenza serie al variare di un parametro

[DaniTB1]

Buonasera vi rigiro un esercizio che non riesco a risolvere,si tratta di studiare la convergenza della seguente serie:
$ sum_(n = 1) arctg(n^lnx) $

Allora io ho iniziato con ridurre il campo di x nel seguente modo:

1)x deve essere strettmaente maggiore di 0 altirmenti otteniamo un logaritmo negativo
2)per x>1 la serie non tende a 0 e quindi non è verificata la condizione necessaria di convergenza

Quindi x deve essere compreso tra 0 e 1 ma in quest'intervallo non so proprio più come procedere per stabilire la convergenza, sia il criterio della radice che del rapporto falliscono,qualcuno mi dice come risolvere?

[Quinzio]

La serie è a termini positivi e che devono essere infinitesimi al crescere di $n$, quindi direi che l'$arctan$ si può approssimare con suo sviluppo di Taylor arrestato al primo termine cioè $arctan(k)\~~k$.
Quindi ci riduciamo a studiare

$\sum_(n=1)n^(log(x))$

da cui si ottiene immediatamente che per $log(x)<-1$ la serie converge. E ciò significa $0

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[DaniTB1]

é vero grazie,accidenti era piuttosto semplice!

Ad esempio anche con quest'altra serie:

$ sum_(n = 1) ln(1 +(x^(2n))/(2^n+1)) $

Grazie a ln(1+x) ~ x posso ridurre la serie allo studio del termine $ (x^(2n))/(2^n+1) $ che a sua volta è asintotico a $ x^n/2^n $ da cui poi banalmente ottengo che la serie converge per -2

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