Studio convergenza serie

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27 dic 2016, 12:29

salve ho grossi problemi nel risolvere questo tipo di esercizi quindi vi chiedo clemenza

studiare la convergenza della serie al variare del parametro $ a in E $ :
$ sum_(n = 1)n^a(1-cos(1/n)) $

1.Si da per scontato che esiste il limite?
Quindi posso usare il confronto del confronto asintotico:
$ lim_(x -> +oo) n^a(1-cos(1/n))=lim_(x -> +00) (1-cos(1/n))/(1/n^a)=l $

Quindi $ a_n $ converge se e solo se $ b_n $ converge:
$ b_n $ converge se e solo se a > 1

2.Poichè l'esercizi chiede la convergenza per 0

Risposte

cooper1

27 dic 2016, 13:01

no il limite non è detto che ci sia. inoltre se il limite del termine generale non è zero allora la serie non converge. il criterio del confronto asintotico non so come tu l'abbia fatto. abbiamo che $ n^a(-cos(1/n))~n^a/(2n^2)=1/(2n^(2-a)) $ e questa converge se e solo se $ a<1 $

tuttomax

27 dic 2016, 15:52

ho ipotizzato che $ 1/n^a $ fosse $ b_n $ ma a quanto pare mi sbagliavo.
potresti gentilmente mostrarmi i passaggi per ottenere la funzione asintotica ( so che f(x)~g(x) se il limite del loro rapporto è 1 ma materialmente come la trovo?)

cooper1

27 dic 2016, 16:36

"cooper":
$ n^a(-cos(1/n))~n^a/(2n^2)=1/(2n^(2-a)) $

è questo lo sviluppo asintotico e $b_n=1/(2n^(2-a))$. per trovarlo basta riconoscere il limite notevole del coseno. al risultato che ho scritto lo trovi poi utilizzando le proprietà delle potenze.

tuttomax

27 dic 2016, 16:50

scusami potresti essere più esplicito?
quindi:
$ (1-cos(1/n))/(1/n^2) = 1/2 1/n->0 $ dividendo per $ 1/2 $ si ottiene $ (1-cos(1/n))/(1/(2n^2))=1 $ quindi $ (1-cos(1/n)) ~ (1/(2n^2)) $ moltiplicando per $ n^a $ si ottiene $n^a /(2n^2) $ etc...