Studio convergenza serie

[Jabberwocky]

devo determinare, al variare di $α ∈ [0, 1]$, il primo termine non nullo dello sviluppo
di McLaurin di $f_(α)(x) = sin x − log(1 + α sin x)$ e poi studiare, sempre al variare di $α ∈ [0, 1]$, la convergenza della serie $sum_{n=1}^infty (f_(α)(1/n))/(log(n)) $

Dunque, io ho sviluppato ottenendo il polinomio $(1-α)x - (α^2)/2 x^2 + o(x^2)$
e ho detto che per $α=1$ il primo termine non nullo è $-x^2/2$
mentre per $α != 1$ il primo termine non nullo è $(1-α)x$ dove $α in [0,1)$

Ora devo studiare la serie, ma non so come procedere, devo distinguere i casi $α=1$ e $α != 1$ e usare il polinomio che ho trovato prima per poi studiare il carattere di 2 serie diverse (una con $-(1/n)^2/2$ e l'altra con $(1-α)*1/n$ al numeratore)? se sì come? non riesco a concludere

[Scotti1]

Ciao,
innanzitutto chiarisco due cose:
1) nello sviluppo il secondo termine è positivo cioè $ + alpha^2*x^2/2 $
2) la serie non è definita per n=1 con il log al denominatore: probabilmente inizierà con n=2

In ogni caso se così fosse abbiamo:
1) la serie con $ 1/(log(n)*n^2) $ converge. Si ulilizza il criterio del confronto con la serie $ 1/(n^2) $
2) la serie con $ 1/(log(n)*n) $ diverge. Utilizzando il criterio dell'integrale cioè la serie viene minorata dall' integrale divergente:

$ lim_(M -> oo )int_(2)^(M) 1/(log(x)*x) dx $

Bye