Studio convergenza puntuale e uniforme successione di funzioni

[lucaldinho]

Salve ragazzi, avrei bisogno di una mano per lo studio della convergenza puntuale e uniforme di questa funzione : $f_n(x)=(sqrt(x)-x^(n+2))/x^n$
Ho problemi soprattutto per lo studio della convergenza uniforme.
Mi aiutereste col procedimento ?

Grazie in anticipo.

[gugo82]

Cosa hai provato?

[lucaldinho]

L'ho studiata nel suo dominio e ho convergenza puntuale a $f(x)=-x^2$ in $ x>1$, da qui ho problemi a calcolare il SUP

[gugo82]

Si ha:
\[
f_n(x) = \frac{1}{x^{\frac{2n-1}{2}}} - x^2
\]
dunque \(f_n\) converge in \([1,+\infty[\) verso la funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} -x^2 &\text{, se } x>1 \\ 0 &\text{, se } x=1\; .\end{cases}
\]
Dato che le $f_n$ sono continue in \([1,+\infty[\) e che la funzione limite $f$ non lo è, la convergenza non può essere uniforme in \([1,+\infty[\).

[lucaldinho]

Neanche se considero intervalli del tipo $ [a;+oo) $ con $ a>1 $ quindi ?

[gugo82]

Forse lì sì.

Infatti, si ha:
\[
|f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{x^\frac{2n-1}{2}}\; ,
\]
dunque la funzione "scarto" $|f_n - f|$ è monotona decrescente e prende massimo assoluto in $x=a$, tale massimo essendo \(\frac{1}{a^\frac{2n-1}{2}}\).
Pertanto, dato che $a>1$, si ha:
\[
\max_{x\geq a} |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{a^\frac{2n-1}{2}}\to 0
\]
e perciò la convergenza è uniforme in \([a,+\infty[\).

[lucaldinho]

Ok grazie mille, gentilissimo