Studio convergenza puntuale e assoluta

[mdonatie]

Ragazzi potete aiutarmi con il seguente esercizio?
Mi chiede di studiare la convergenza puntuale e assoluta della serie al variare del parametro.
$\sum_{n=1}^\infty\frac{sin(2x)^n}{3n}$
ho cominciato a studiare la serie dei moduli per determinare quando questa converge assolutamente:
$\sum_{n=1}^\infty|\frac{sin(2x)^n}{3n}|=\sum_{n=1}^\infty\frac{|sin(2x)^n|}{3n}$ ed ho applicato il criterio del rapporto:
$\lim_{n \to \infty}\frac{|sin(2x)^(n+1)|}{3(n+1)}\frac{3n}{|sin(2x)^n|}=\lim_{n \to \infty}\frac{|sin(2x)^(n)||sin(2x)|}{3(n+1)}\frac{3n}{|sin(2x)^n|}=\lim_{n \to \infty}\frac{n|sin(2x)|}{n+1}=|sin(2x)|$
Perciò posso dire che la serie converge assolutamente quando $|sin(2x)|<1 \rarr -1 Il criterio del rapporto quando $x=π/4$ non ci dice niente, però la serie diventerebbe: $\sum_{n=1}^\infty\frac{1^n}{3n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{3n}$($AAn>1$) che diverge positivamente. (giusto?)
Per la convergenza puntuale, anche qui studio la serie utilizzando il criterio del rapporto, questa volta però la serie converge per $x<π/4$.
Giusto?

[dissonance]

Hai risolto male la disequazione $-1<\sin(2x)<1$, stai buttando via un mucchio di soluzioni. Il resto della discussione della convergenza assoluta va bene (anche se si vede che stai applicando il criterio a macchinetta e non hai veramente capito cosa succede in quella serie).

La convergenza puntuale non si può studiare col criterio del rapporto. Quello è un criterio di convergenza assoluta. Ti tocca andare a studiare caso per caso cosa succede nei punti in cui non c'è convergenza assoluta.