Studio convergenza puntuale a uniforme
salve ragazzi ho la seguente funzione $ sqrt(x^2+1/n) $ il limite puntuale mi da come risultato x in valore assoluto,a questo punto procedendo arrivo alla derivata che mi da $ x/sqrt(x^2+1/n)-1 $ dove studiando il segno non trovo un max,a questo punto come procedo con la convergenza uniforme?
Risposte
Ciao rotttts,
Scriviamo bene... Data la successione di funzioni $f_n(x) = sqrt(x^2+1/n) $, si ha:
$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = |x| = f(x) $
Per quanto concerne la convergenza uniforme osserverei che $ f_n^2(x) - f^2(x) = 1/n $ e quindi si ha:
$ [f_n(x) - f(x)][f_n(x) + f(x)] = 1/n \implies f_n(x) - f(x) = \frac{1/n}{f_n(x) + f(x)} $
Dato che $\AA x in \RR $ si ha $f_n(x) + f(x) >= 1/sqrt{n} $, ne consegue che
$ f_n(x) - f(x) <= 1/sqrt{n} $
"rotttts":
ho la seguente funzione $ sqrt(x^2+1/n) $ [...]
Scriviamo bene... Data la successione di funzioni $f_n(x) = sqrt(x^2+1/n) $, si ha:
$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = |x| = f(x) $
Per quanto concerne la convergenza uniforme osserverei che $ f_n^2(x) - f^2(x) = 1/n $ e quindi si ha:
$ [f_n(x) - f(x)][f_n(x) + f(x)] = 1/n \implies f_n(x) - f(x) = \frac{1/n}{f_n(x) + f(x)} $
Dato che $\AA x in \RR $ si ha $f_n(x) + f(x) >= 1/sqrt{n} $, ne consegue che
$ f_n(x) - f(x) <= 1/sqrt{n} $
@pilloeffe: si ma la definizione di convergenza uniforme richiede un valore assoluto intorno all'ultima differenza. Penso sia una buona idea spiegare perché ne hai potuto fare a meno. Questo del valore assoluto è un fatto che non è chiaro a molta gente, anche su questo forum.
Ciao dissonance,
Hai ragione, lo davo per scontato, ma è sempre meglio non farlo...
Ne ho potuto fare a meno perché si sa già che quella differenza è positiva, quindi il modulo è inutile.
D'altronde si potrebbero ripetere le stesse considerazioni anche col modulo, che comunque non dà fastidio; infatti osservando che $ |f_n^2(x) - f^2(x)| = 1/n $ si ha:
$ |f_n(x) - f(x)||f_n(x) + f(x)| = 1/n \implies |f_n(x) - f(x)| = \frac{1/n}{|f_n(x) + f(x)|} = \frac{1/n}{f_n(x) + f(x)} $
Dato che $\AA x \in \RR $ si ha $ f_n(x) + f(x) >= 1/sqrt{n} $, ne consegue che
$ |f_n(x) - f(x)| <= 1/sqrt{n} $
"dissonance":
Penso sia una buona idea spiegare perché ne hai potuto fare a meno. Questo del valore assoluto è un fatto che non è chiaro a molta gente, anche su questo forum
Hai ragione, lo davo per scontato, ma è sempre meglio non farlo...
Ne ho potuto fare a meno perché si sa già che quella differenza è positiva, quindi il modulo è inutile.
D'altronde si potrebbero ripetere le stesse considerazioni anche col modulo, che comunque non dà fastidio; infatti osservando che $ |f_n^2(x) - f^2(x)| = 1/n $ si ha:
$ |f_n(x) - f(x)||f_n(x) + f(x)| = 1/n \implies |f_n(x) - f(x)| = \frac{1/n}{|f_n(x) + f(x)|} = \frac{1/n}{f_n(x) + f(x)} $
Dato che $\AA x \in \RR $ si ha $ f_n(x) + f(x) >= 1/sqrt{n} $, ne consegue che
$ |f_n(x) - f(x)| <= 1/sqrt{n} $
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