Studio Convergenza integrali impropri.

[Flameshot]

Buongiorno,Vorrei chiedere delucidazioni.
Ho studiato la convergenza di questo integrale $ int_(0)^(pi /2) (sin(x^(1/2)))/(sinx(pi/2-x)^(1/2))$



Dopo averlo diviso in due intervalli dato che è improprio in tutti e due gli estremi... per il secondo intervallo, quello che va da :

$ int_(pi /4)^(pi /2) (sin(x^(1/2)))/(sinx(pi/2-x)^(1/2))$ ;



Sono arrivato alla conclusione per il confronto semplice che :

$ (sin(x^(1/2)))/(sinx(pi/2-x)^(1/2) )$ < $ (1)/(pi /2 - x)^(1/2) $ .

A questo punto mi chiedevo se si poteva fare che : $ (1)/(pi /2 - x)^(1/2) $ < $ x^3 $ ; ( Una potenza a caso maggiore di 1);
oppure si può concludere solo per confronto asintotico con $ 1/(t)^(1/2)$; Che converge...

Grazie

[Brancaleone1]

Ti stai solo complicando la vita

$lim_(x->0^+)sin(sqrtx)/(sin(x) sqrt(pi/2-x))= sin(sqrtx)/x=+oo text ( di ordine < 1) => text(converge)$

$lim_(x->(pi/2)^-)sin(sqrtx)/(sin(x) sqrt(pi/2-x))= c/sqrt(pi/2-x)=+oo text ( di ordine < 1) => text(converge)$

$=>$ l'integrale converge

[Flameshot]

Quindi lo posso dire direttamente senza passare alla sostituzione ? Grazie mille, gentilissimo

[Brancaleone1]

Certo!
Ricorda che per valutare la convergenza di un integrale improprio $int_alpha^beta g(t)dt$ - $g(t)$ integrabile in $(alpha, beta)$ con $alpha, beta in RR cup \{+oo, -oo}$ - basta studiare i limiti agli estremi dell'integranda, sapendo che:

$lim_(t->pm oo) g(t) = { ( 0 {(text(ord) > 1 text( converge)),(text(ord)le 1 text( diverge)):} ),( text(altrimenti diverge) ):}$

$lim_(t->h) g(t) = { ( oo {(text(ord) < 1 text( converge)),(text(ord)ge 1 text( diverge)):} ),( text(altrimenti converge) ):}$

[Flameshot]

Grazie ancora, Gentilissimo .