Studio convergenza integrali
salve, ho il seguente integrale
$\int_0^oo (sqrt(1+x^2)-x)/sqrt(x)dx$
devo studiarne la convergenza. l'ho separato in due integrali, ho studiato prima $\int_0^1f(x)dx$, e l'ho confrontato con $1/sqrt(x)$, il cui integrale su $[0,1]$ è convergente, dunque anche $\int_0^1f(x)dx$ è convergente. ora però non so come studiare $\int_1^oof(x)dx$; avevo pensato che per $x->+oo$ $f(x)~~sqrt(x)-sqrt(x)=0$ e quindi tutto l'integrale è convergente, perchè dipende unicamente dal primo, ma quest'ultimo passaggio è stato un tentativo più che altro, sicuramente errato visto che non trovo un riscontro rigoroso. più che altro forse mi servirebbe qualcuno che mi consigliasse come studiare in generale la convergenza degli integrali, visto che di teoria ho già studiato l'argomento sui miei libri di teoria senza di trovare nulla di esaustivo.
$\int_0^oo (sqrt(1+x^2)-x)/sqrt(x)dx$
devo studiarne la convergenza. l'ho separato in due integrali, ho studiato prima $\int_0^1f(x)dx$, e l'ho confrontato con $1/sqrt(x)$, il cui integrale su $[0,1]$ è convergente, dunque anche $\int_0^1f(x)dx$ è convergente. ora però non so come studiare $\int_1^oof(x)dx$; avevo pensato che per $x->+oo$ $f(x)~~sqrt(x)-sqrt(x)=0$ e quindi tutto l'integrale è convergente, perchè dipende unicamente dal primo, ma quest'ultimo passaggio è stato un tentativo più che altro, sicuramente errato visto che non trovo un riscontro rigoroso. più che altro forse mi servirebbe qualcuno che mi consigliasse come studiare in generale la convergenza degli integrali, visto che di teoria ho già studiato l'argomento sui miei libri di teoria senza di trovare nulla di esaustivo.
Risposte
Sì, la funzione integranda è asintoticamente equivalente a $0$ per $x \to oo $.
si, ma vorrei sapere se il fatto che spezzando l'integrale in due integrali, di cui in uno la funzione integranda tende a zero, si può considerare solo l'altro per determinarne la convergenza! e in ogni caso vorrei maggiori delucidazioni sull'argomento convergenza integrali se possibile, magari con qualche link di cui si è già personalmente constatata l'esaustività!
Vanno considerati entrambi. L'integrale converge se e solo se entrambe le parti sono convergenti. Nel tuo caso, appunto, converge.
Nel forum dovrebbe esserci molto a riguardo di integrali impropri... Se hai domande specifiche, invece, chiedi pure.
Nel forum dovrebbe esserci molto a riguardo di integrali impropri... Se hai domande specifiche, invece, chiedi pure.
umh, si il fatto che entrambe le parti debbano essere convergenti per determinare la convergenza mi era chiaro. dunque significa che quando nell'intervallo $[1,+oo[$ la funzione tenda a zero, il fatto che tenda a zero sta a significare che converge? no più che altro mi interessava qualcosa che mi dia le basi per affrontare un pò in generale questo tipo di quesito..
No, se la funzione integranda tende a $0$ non vuol dire che l'integrale converge... deve tenderci con una velocità abbastanza grande. E' sicuramente una condizione necessaria...
Dunque, credo che non è del tutto esatto ragionare come abbiamo ragionato... Mi viene un po' naturale affermare che quella parte di integrale converge, ma, effettivamente, temo che vada trovata una migliore approssimazione.
Fammi pensare un po'....
Dunque, credo che non è del tutto esatto ragionare come abbiamo ragionato... Mi viene un po' naturale affermare che quella parte di integrale converge, ma, effettivamente, temo che vada trovata una migliore approssimazione.
Fammi pensare un po'....
"Hadronen":
No, se la funzione integranda tende a $0$ non vuol dire che l'integrale converge... deve tenderci con una velocità abbastanza grande. E' sicuramente una condizione necessaria...
Dunque, credo che non è del tutto esatto ragionare come abbiamo ragionato... Mi viene un po' naturale affermare che quella parte di integrale converge, ma, effettivamente, temo che vada trovata una migliore approssimazione.
Fammi pensare un po'....
ecco, era questo il punto!!!
aspettiamo qualcuno magari...
Ho scritto qualcosa, e, (devo ammettere) per puro c...aso, ho potuto stabilire che la funzione integranda è sempre (e specialmente per $x in [1, oo) $) minore di $1/x^(3/2)$ .
Dunque $int_1^oo f(x) dx < int_1^oo 1/(x^(3/2)) dx$ converge, per il teorema del confronto.
Dunque $int_1^oo f(x) dx < int_1^oo 1/(x^(3/2)) dx$ converge, per il teorema del confronto.
"Hadronen":
Sì, la funzione integranda è asintoticamente equivalente a $0$ per $x \to oo $.
E, di grazia, cosa vorrebbe dire questa cosa? Che la funzione, secondo te, risulta "localmente" costante e pari a zero in un intorno di $+\infty$? Ma dico, ma siamo pazzi????? Che poi io non capisco perché per usare il confronto (anche quando si parla di integrali) uno non usi i metodi standard dei limiti:
per $x\to+\infty$ si ha che la funzione integranda risulta
$f(x)={1+x^2-x^2}/{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{1+x^2}+x)}\sim 1/{x^{1/2}\cdot 2x}=1/{2 x^{3/2}}$
per cui l'integrale risulta convergente in $x\to+\infty$.
Per $x\to 0^+$ si ha invece
$f(x)\sim {1+x^2/2-x}/{x^{1/2}}\sim 1/{x^{1/2}}$
e pertanto anche qui c'è convergenza.
"ciampax":
[quote="Hadronen"]Sì, la funzione integranda è asintoticamente equivalente a $0$ per $x \to oo $.
E, di grazia, cosa vorrebbe dire questa cosa? Che la funzione, secondo te, risulta "localmente" costante e pari a zero in un intorno di $+\infty$? Ma dico, ma siamo pazzi????? Che poi io non capisco perché per usare il confronto (anche quando si parla di integrali) uno non usi i metodi standard dei limiti:
per $x\to+\infty$ si ha che la funzione integranda risulta
$f(x)={1+x^2-x^2}/{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{1+x^2}+x)}\sim 1/{x^{1/2}\cdot 2x}=1/{2 x^{3/2}}$
per cui l'integrale risulta convergente in $x\to+\infty$.
Per $x\to 0^+$ si ha invece
$f(x)\sim {1+x^2/2-x}/{x^{1/2}}\sim 1/{x^{1/2}}$
e pertanto anche qui c'è convergenza.[/quote]
Ho sbagliato e mi sono corretto nel messaggio successivo.
"ciampax":
[quote="Hadronen"]Sì, la funzione integranda è asintoticamente equivalente a $0$ per $x \to oo $.
E, di grazia, cosa vorrebbe dire questa cosa? Che la funzione, secondo te, risulta "localmente" costante e pari a zero in un intorno di $+\infty$? Ma dico, ma siamo pazzi????? Che poi io non capisco perché per usare il confronto (anche quando si parla di integrali) uno non usi i metodi standard dei limiti:
per $x\to+\infty$ si ha che la funzione integranda risulta
$f(x)={1+x^2-x^2}/{\sqrt{x}\cdot(\sqrt{1+x^2}+x)}\sim 1/{x^{1/2}\cdot 2x}=1/{2 x^{3/2}}$
per cui l'integrale risulta convergente in $x\to+\infty$.
Per $x\to 0^+$ si ha invece
$f(x)\sim {1+x^2/2-x}/{x^{1/2}}\sim 1/{x^{1/2}}$
e pertanto anche qui c'è convergenza.[/quote]
ecco, io per $x\to 0^+$ avevo ragionato proprio così, era per $x\to+\infty$ che sbagliavo ragionamento! grazie ad entrambi! però non capisco cosa intendi per "non usi i metodi standard dei limiti"???
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