Studio convergenza integrali

[markolino]

Devo determinare per quali valori di [tex]\alpha[/tex] convergono i seguenti integrali, solo che non riesco a risolverli per la presenza del termine [tex]e^{\alpha x}[/tex], come si risolvono?

[tex]\int_{0}^{1} \frac{e^{\alpha x}ln(1+x)-sinx }{x^3}[/tex]

[tex]\int_{1}^{\infty} \frac{e^{\alpha x}+x}{x^{2\alpha +3}}[/tex]

[Noisemaker]

sai che non devi calcolari esplicitamente vero? devi solo vedere se convergono o meno...quindi confronto asintotico

[markolino]

Si lo so bisogna fare il limite nei punti esclusi dal dominio che rientrano nell'intervallo di integrazione e il limite a infinito

[Noisemaker]

Consideriamo il primo
\[\int_{0}^{1}\frac{e^{\alpha x}\ln(1+x)-\sin x}{x^3}\]

l'integrale risuta improprio ne punto $x=0$ dove si annulla il denominatore; la funzione integranda in tale intervallo è certamente positiva, quindi possiamo applicare il confronto asintotico quando $x\to0^+$ utilizzando gli sviluppi di Taylor:

\begin{align}
\frac{e^{\alpha x}\ln(1+x)-\sin x}{x^3}&\stackrel{\bf(T)}{=}\frac{\left(1+\alpha x+\frac{(\alpha x)^2}{2}+o(\alpha x^2)\right)\left( x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)-\left(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\right)}{x^3}\\
&=\frac{ x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\alpha x^2-\frac{ \alpha x^3}{2}+\frac{ \alpha^2 x^3}{2} - x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) }{x^3}\\
&=\begin{cases}\mbox{se } \alpha=\frac{1}{2},\quad \to\quad\frac{ \frac{x^3}{3} -\frac{ x^3}{4}+\frac{ x^3}{8} +\frac{x^3}{6}+o(x^3) }{x^3}=\frac{3}{8}\to\mbox{converge}\\
\alpha\ne\frac{1}{2},\quad \sim \quad\frac{ x^2+o(x^3) }{x^3}\sim \frac{1 }{x }\to\mbox{non converge}\\
\end{cases}
\end{align}

l'altro è analogo, anzi più semplice ....

[size=85]il secondoè più semplice, in quanto in questo caso abbiamo problemi solo a $+\infty$ e in tal caso possiamo certamente escludere i valori di $\alpha>0$ , cioè i valori che fanno restare quell'esponenzaile a numeratoretore; quindi se c'è convergenza va cercatra tra i valori $\alpha<0$: in tal caso l'esponenziale risulta infinitesimo e dunque (dopo aver naturalmente osservato che si tratta di una funzione sempre positiva nell'intervallo $[1,+\infty)$) possiamo applicare il confronto asintotico: quando $x\to +\infty$ abbiamo:
\[\frac{e^{\alpha x}+x}{x^{2\alpha+3}}\sim \frac{ x}{x^{2\alpha+3}}\sim \frac{ 1}{x^{2\alpha+2}}\to \mbox{converge se }\,\,\,2\alpha+2>1,\alpha>-\frac{1}{2}\]

dunque puoi concludere che l'integrale risulta convergente se $-\frac{1}{2}<\alpha<0$[/size]

[markolino]

Ok ho capito ho risolto anche l'altro, avrei un altro dubbio su un altro integrale:

[tex]\int_{0}^{+\infty}\frac {log(1+x^{3\alpha})}{x^ {5\alpha}+sin(x^{6\alpha})}[/tex]

Allora per [tex]x \to 0[/tex] ottengo:

[tex]\frac {x^{ 3\alpha}(1+o(1))}{x^{5\alpha}(1+o(1))}[/tex]

Quindi:

[tex]5\alpha-3\alpha<1[/tex]

[tex]\alpha< \frac{1}{2}[/tex]

Mentre per [tex]x \to \infty[/tex] mi sono bloccato, ottengo:

[tex]\frac{log(x^{3\alpha}(1+o(1))}{x^{5\alpha(1+o(1))}}[/tex]

Come faccio a questo punto a determinare il valore di [tex]\alpha[/tex] per il quale l'integrale converge?