Studio convergenza integrale improprio.

[Bisneff]

Salve a tutti, di nuovo io

Ho il seguente integrale improprio:

$int_(3)^(+oo) (e^-x)/((x-3)^\beta * sqrt(x)) $

Per risolverlo devo spezzarlo, poichè in 3, l'integrale mi tende a infinito e in $+oo$ l'integrale ha dominio illimitato.

$int_(3)^(+oo) (e^-x)/((x-3)^\beta * sqrt(x)) = int_(3)^(4) (e^-x)/((x-e)^\beta * sqrt(x)) + int_(4)^(+oo) (e^-x)/((x-e)^\beta * sqrt(x))$

La prima parte la studio col limite facendo tendere la x a 3 ottengo:
$int_(3)^(4) (e^-3)/((x-3)^\beta * sqrt(3))$ da cui $\beta < 1

La seconda parte ho
$int_(3)^(+oo) (e^-oo)/((x-3)^\beta * sqrt(x))$

Ma non so assolutamente come toccarla. Suggerimenti?

[gugo82]

Ma guarda bene... Come si comporta l'integrando intorno a [tex]$+\infty$[/tex]?

[Bisneff]

a me sembra che venga una forma indeterminata.

$e^-oo = 0 $

$(x-3)^\beta * sqrt(x) = x^(b+1/2) * (1+o(1))$

L'unica idea potrebbe essere sviluppare $e^-x $ con taylor... Non so...

[gugo82]

Mi sfugge il perchè tu sostituisca [tex]$+\infty$[/tex] nell'esponenziale (come fosse un numero) e non lo sostituisca nella funzione irrazionale a denominatore...

Ad ogni modo, la forma è sì indeterminata, ma è di quelle forme indeterminate di cui sai dire di tutto di più.
Ad esempio, mai sentito parlare di ordine di infinitesimo?

[Bisneff]

Quindi mi stai dicendo che (in soldoni), converge per ogni beta?


(credo, l'esponenziale tende a 0, e, ordini di infinitesimo parlando, va sicuramente più veloce di x alla alfa, con qualsiasi alfa.) E' così?

[gugo82]

Io sto dicendo che l'integrando è infinitesimo all'infinito d'ordine infinitamente elevato.

A te trarne le dovute conclusioni circa la convergenza dell'integrale.