Studio convergenza funzione due variabili

[unfabbioacaso]

Salve a tutti,
premesso che non mi è del tutto chiara la risoluzione di limiti in due variabili, sto trovando alcune difficoltà con questo esercizio:
Verificare se la funzione converge in (0,0)

\(\displaystyle f(x,y)=log(1+xy)/\sqrt(x^2+y^2) \)

Ho provato dunque il passaggio in coordinate polari

\(\displaystyle lim_(\rho -> 0) log(1+\rho cos\theta sin\theta )/\sqrt(\rho^2 cos \theta ^2+\rho^2 sin \theta ^2) \)

svolgendolo, mi trovo

\(\displaystyle lim_(\rho -> 0) log(1+\rho cos \theta sin \theta)/\rho \)

Visto che mi sembra una forma indeterminata ( 0/0 ), ho applicato il teorema di De L'Hopital, avendo così:

\(\displaystyle lim_(\rho -> 0) sin \theta cos \theta /(1+\rho sin \theta cos \theta) \)

Quindi tale limite, se proprio volessi fidarmi dei miei calcoli, varrebbe \(\displaystyle sin \theta cos \theta \), per cui, sempre se ho ben capito, il limite non esiste perchè dipende dal percorso.
Ho provato però a controllare su Wolfram Alpha ed il limite, per Wolfram, vale zero.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28x%2Cy%29-%3E%280%2C0%29+log%281%2Bxy%29%2F%28x%5E2%2By%5E2%29%5E%281%2F2%29

Cosa ho sbagliato?
Grazie anticipatamente.

[Plepp]

Nel primo limite, al numeratore, hai scritto $\rho$ anzichè $\rho^2$

[unfabbioacaso]

"Plepp":Nel primo limite, al numeratore, hai scritto $\rho$ anzichè $\rho^2$

Mi viene quasi da ridere
Grazie! Allora, in questo caso il limite viene 0, però mi chiedo: devo effettuare qualche tipo di verifica sulla funzione e/o sul risultato, per poter applicare questo metodo, oppure lo svolgimento del limite, con un risultato che non dipenda dall'angolo, è sufficiente per dire che il limite esiste e vale L ?