Studio convergenza e divergenza di una serie.
Ragazzi sto riscontrando alcuni problemi nello studiare la convergenza o la divergenza di una serie. In particolare provo a svolgerla, spesso mi trovo, ma il ragionamento appare un po' contorto e non sempre fila perfettamente. Ad esempio sto svolgendo una serie in cui ho questa funzione al numeratore:
log(n sen(1/n)). La mia domanda è posso dire che la seguente funzione è minore o uguale di Log (n)? In quanto il sen(1/n) è sempre minore o uguale di 1 (così come il cos(1/n) correggetemi se sbaglio). Oppure attraverso una stima asintotica devo dire che il sen(1/n) si comporta come 1/n? (però se così fosse questa cosa non mi porterebbe da nessuna parte visto l'esercizio). Inoltre posso sempre fare una stima di questo tipo in cui dico che il sen o il cos (solo ed esclusivamente nei casi in cui loro sono positivi) è minore o uguale di 1? e quindi dico che la serie di partenza è più piccola della stessa serie solo che al posto di sen o cos metto 1? (esattamente come nell'esempio sopra)
log(n sen(1/n)). La mia domanda è posso dire che la seguente funzione è minore o uguale di Log (n)? In quanto il sen(1/n) è sempre minore o uguale di 1 (così come il cos(1/n) correggetemi se sbaglio). Oppure attraverso una stima asintotica devo dire che il sen(1/n) si comporta come 1/n? (però se così fosse questa cosa non mi porterebbe da nessuna parte visto l'esercizio). Inoltre posso sempre fare una stima di questo tipo in cui dico che il sen o il cos (solo ed esclusivamente nei casi in cui loro sono positivi) è minore o uguale di 1? e quindi dico che la serie di partenza è più piccola della stessa serie solo che al posto di sen o cos metto 1? (esattamente come nell'esempio sopra)
Risposte
Data la serie:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \ln \left [n \sin \left (\frac{1}{n} \right ) \right ] \]
Notando che:
\[ \ln \left [n \sin \left (\frac{1}{n} \right ) \right ]= \ln \left [ 1 + \left (-1 + \frac{ \sin \left (\frac{1}{n} \right )}{\frac{1}{n}} \right ) \right ] \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{ \sin \left ( \frac{1}{n} \right ) - \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \]
Ed utilizzando le serie di Taylor:
\[ \frac{ \sin \left ( \frac{1}{n} \right ) - \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} =- \frac{ 1}{6 n^2} + \text{o} \left (\frac{1}{n^2} \right ) \]
Otteniamo che:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \ln \left [n \sin \left (\frac{1}{n} \right ) \right ] \sim \sum_{n = 1}^{+\infty} -\frac{1}{6 n^2} = -\frac{1}{6} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \]
Dunque, per il criterio del confronto asintotico, visto che la serie armonica di grado \(2\) è convergente, lo è anche la serie di partenza.
Riguardo il tuo tentativo di risoluzione, puoi certamente affermare che \( \sin \left (\frac{1}{n} \right ) \leq 1 \) e quindi maggiorare quella serie con un'altra. Il fatto è che la serie con cui vuoi maggiorarla è divergente; basta guardare la condizione necessaria di convergenza per accorgersi che non converge. Quindi, il tuo ragionamento ti porterebbe a concludere che la tua serie è maggiorata da una serie divergente; e questa è una condizione nella quale possono trovarsi sia serie convergenti che divergenti. Dunque, non concluderesti niente sul carattere della serie che stai studiando.
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \ln \left [n \sin \left (\frac{1}{n} \right ) \right ] \]
Notando che:
\[ \ln \left [n \sin \left (\frac{1}{n} \right ) \right ]= \ln \left [ 1 + \left (-1 + \frac{ \sin \left (\frac{1}{n} \right )}{\frac{1}{n}} \right ) \right ] \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{ \sin \left ( \frac{1}{n} \right ) - \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \]
Ed utilizzando le serie di Taylor:
\[ \frac{ \sin \left ( \frac{1}{n} \right ) - \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} =- \frac{ 1}{6 n^2} + \text{o} \left (\frac{1}{n^2} \right ) \]
Otteniamo che:
\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \ln \left [n \sin \left (\frac{1}{n} \right ) \right ] \sim \sum_{n = 1}^{+\infty} -\frac{1}{6 n^2} = -\frac{1}{6} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \]
Dunque, per il criterio del confronto asintotico, visto che la serie armonica di grado \(2\) è convergente, lo è anche la serie di partenza.
Riguardo il tuo tentativo di risoluzione, puoi certamente affermare che \( \sin \left (\frac{1}{n} \right ) \leq 1 \) e quindi maggiorare quella serie con un'altra. Il fatto è che la serie con cui vuoi maggiorarla è divergente; basta guardare la condizione necessaria di convergenza per accorgersi che non converge. Quindi, il tuo ragionamento ti porterebbe a concludere che la tua serie è maggiorata da una serie divergente; e questa è una condizione nella quale possono trovarsi sia serie convergenti che divergenti. Dunque, non concluderesti niente sul carattere della serie che stai studiando.
Hai ragione, ti ringrazio per la spiegazione molto chiara e approfondita ma vorrei porti un altro paio di domande.
Facciamo l'esempio che io abbia una serie fatta da più funzioni sia al numeratore che al denominatore. Ora se io riuscissi, attraverso l'utilizzo di limiti notevoli e di confronti asintotici (cioè confrontandole con altre funzioni e dicendo che il limite proposto vale un numero più grande di zero e più piccolo di infinito), a trovare delle funzioni per cui le funzioni di partenza si comportano come queste allora quest'ultime potrei andarle a sostituire nella serie di partenza? In pratica non sto cercando di confrontare l'intera serie con un'altra ma solo piccole funzioni all'interno di una serie con altre per poi sostituirle e facilitare le cose applicando successivamente altri criteri che mi permettano di studiare la serie. Inoltre sen(1/n) e cos (1/n) sono sempre positivi giusto?
Facciamo l'esempio che io abbia una serie fatta da più funzioni sia al numeratore che al denominatore. Ora se io riuscissi, attraverso l'utilizzo di limiti notevoli e di confronti asintotici (cioè confrontandole con altre funzioni e dicendo che il limite proposto vale un numero più grande di zero e più piccolo di infinito), a trovare delle funzioni per cui le funzioni di partenza si comportano come queste allora quest'ultime potrei andarle a sostituire nella serie di partenza? In pratica non sto cercando di confrontare l'intera serie con un'altra ma solo piccole funzioni all'interno di una serie con altre per poi sostituirle e facilitare le cose applicando successivamente altri criteri che mi permettano di studiare la serie. Inoltre sen(1/n) e cos (1/n) sono sempre positivi giusto?
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