Studio convergenza di una serie con il seno
Salve!
Ho un dubbio su questa serie, di cui dovrei studiare la convergenza:
$sum((4sin(n))/sqrt(n))$
Qui incontro il mio primo dubbio: questa serie non è a termini positivi, giusto?
Dovrei studiare la convergenza assoluta, e quindi prima la convergenza di $4*sum(|sin(n)|/sqrt(n))$ A questo punto mi fermo e non so quale criterio utilizzare
Ho un dubbio su questa serie, di cui dovrei studiare la convergenza:
$sum((4sin(n))/sqrt(n))$
Qui incontro il mio primo dubbio: questa serie non è a termini positivi, giusto?
Dovrei studiare la convergenza assoluta, e quindi prima la convergenza di $4*sum(|sin(n)|/sqrt(n))$ A questo punto mi fermo e non so quale criterio utilizzare
Risposte
Da dove proviene questo esercizio? Le serie con \( \sin (n) \) tra le scatole sono in genere piuttosto rognose da studiare.
Si può mostrare che la serie \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{ \sin ( x n)}{n} \]converge per ogni \( x \in \mathbb{R} \) (cfr. Real Infinite Series - Bonar, Khoury), e la dimostrazione fa uso del [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_test]criterio di Dirichlet[/url]; puoi applicare il medesimo criterio al tuo caso, ma devi prima mostrare che \[ \left| \sum_{k=1}^N \sin (n) \right| \le M \] per ogni \(N \in \mathbb{N}\). Mi pare di ricordare che usando la [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula]formula di Eulero[/url] per il seno sia possibile scrivere quest'ultima sommatoria mediante una formula chiusa. Provaci; se non ci riesci provo ad aggiungere altri dettagli non appena ho del tempo.
Si può mostrare che la serie \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{ \sin ( x n)}{n} \]converge per ogni \( x \in \mathbb{R} \) (cfr. Real Infinite Series - Bonar, Khoury), e la dimostrazione fa uso del [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_test]criterio di Dirichlet[/url]; puoi applicare il medesimo criterio al tuo caso, ma devi prima mostrare che \[ \left| \sum_{k=1}^N \sin (n) \right| \le M \] per ogni \(N \in \mathbb{N}\). Mi pare di ricordare che usando la [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula]formula di Eulero[/url] per il seno sia possibile scrivere quest'ultima sommatoria mediante una formula chiusa. Provaci; se non ci riesci provo ad aggiungere altri dettagli non appena ho del tempo.
Cercavo qualcosa per esercitarmi sullo studio della convergenza di serie e ho trovato questo esercizio. Ma non sono arrivato a studiare queste cose. Quindi mi sa che per il momento la metto da parte. Grazie mille! 
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