Studio convergenza di una serie
Devo studiare il comportamento della serie al variare di $ ain R $
$ sum_(n = \2) n^a(log((2n^2+2n+1)/(2n^2))-arctan(1/n)) $
Io ho proceduto nella seguente maniere: usando gli sviluppi di Taylor asintoticamente la serie dovrebbe essere
$ n^a(log((2n^2+2n+1)/(2n^2))-arctan(1/n)) $ $=$ $n^a(log(1+(2n+1)/(2n^2))-arctan(1/n)) $ $ ~ $ $ n^a((2n+1)/(2n^2)-1/n) $
dato che $((2n+1)/(2n^2)) ->0$, $log(1+(2n+1)/(2n^2))$ $->$ $((2n+1)/(2n^2))$ per $n->+oo$
e $(1/n)->0$, $arctan(1/n)->(1/n)$
A questo punto $n^a((2n+1)/(2n^2)-1/n)$ $=$ $(n^a)/(2n^2)$ $=$ $(1/(2n^(2-a)))$ e quindi ho ricondotto tutto alla serie armonica.
Adesso $ 1/2sum_(n = \2) (1/n^(2-a)) $ e quindi per $2-a>1 -> a<1$ la serie converge per $a>=1$ la serie diverge.
Ma porta così? Siccome non ho il risultato non sono sicuro che sia giusto, ho provato con alcuni programmi e invece porta che la serie converge per a<2.
$ sum_(n = \2) n^a(log((2n^2+2n+1)/(2n^2))-arctan(1/n)) $
Io ho proceduto nella seguente maniere: usando gli sviluppi di Taylor asintoticamente la serie dovrebbe essere
$ n^a(log((2n^2+2n+1)/(2n^2))-arctan(1/n)) $ $=$ $n^a(log(1+(2n+1)/(2n^2))-arctan(1/n)) $ $ ~ $ $ n^a((2n+1)/(2n^2)-1/n) $
dato che $((2n+1)/(2n^2)) ->0$, $log(1+(2n+1)/(2n^2))$ $->$ $((2n+1)/(2n^2))$ per $n->+oo$
e $(1/n)->0$, $arctan(1/n)->(1/n)$
A questo punto $n^a((2n+1)/(2n^2)-1/n)$ $=$ $(n^a)/(2n^2)$ $=$ $(1/(2n^(2-a)))$ e quindi ho ricondotto tutto alla serie armonica.
Adesso $ 1/2sum_(n = \2) (1/n^(2-a)) $ e quindi per $2-a>1 -> a<1$ la serie converge per $a>=1$ la serie diverge.
Ma porta così? Siccome non ho il risultato non sono sicuro che sia giusto, ho provato con alcuni programmi e invece porta che la serie converge per a<2.
Risposte
Ho provato adesso, effettivamente se arctan(1/n) lo sviluppo fino al 3°ordine poi con la serie armonica risulta che la serie converge per a<2.
Ma allora come faccio a sapere a quale ordine troncare?.
Ma allora come faccio a sapere a quale ordine troncare?.
Si tratta di sviluppare ad ordini superiori al primo sia il logaritmo che l'arcotangente.
Ovviamente, se sviluppi un addendo (l'arcotangente) al terzo ordine, dovrai anche sviluppare l'altro (il logaritmo) allo stesso ordine, perché altrimenti potresti perderti dei contributi dovuti all'addendo non sviluppato.
Per quanto riguarda a quale ordine arrestarsi, la regola è semplice: devi fermarti al primo ordine per cui non ti rimangono in mano solo degli o-piccolo che forniscono informazioni inutilizzabili per la soluzione del limite.
Ovviamente, se sviluppi un addendo (l'arcotangente) al terzo ordine, dovrai anche sviluppare l'altro (il logaritmo) allo stesso ordine, perché altrimenti potresti perderti dei contributi dovuti all'addendo non sviluppato.
Per quanto riguarda a quale ordine arrestarsi, la regola è semplice: devi fermarti al primo ordine per cui non ti rimangono in mano solo degli o-piccolo che forniscono informazioni inutilizzabili per la soluzione del limite.
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