Studio convergenza di serie di funzioni

[Gandalf73]

Carissimi,
ho ripreso da poco i libri e ho rispolverato qualche esercizio di Analisi.
Ne ho alcuni di veramente strambi.
Ne scrivo uno...magari posso pizzicare la fantasia di qualcuno.
Studiare la convergenza della serie di funzioni:

$\sum_{n=0}^\infty\(frac{n}{n+2})^{(n^2+tanhn)}*frac{(arcsin(x+1))^n}{n-pi}$

Direi che ci sono solo considerazioni da fare...
Io mi sono arenato
Un grazie a tutti
A.

[dissonance]

Se poni \(y=\arcsin(x+1)\) diventa una serie di potenze in \(y\).

[Gandalf73]

Grazie per il suggerimento.
Ovviamente è una serie di potenze in cui il coef. moltiplicatore è sempre minore di 1.
Per l'uniforme convergenza?
Un saluto ed un grazie ancora
A.

[dissonance]

È quello lo scopo dell'esercizio: con il cambio di variabile ottieni delle condizioni per la convergenza uniforme in y, e la difficoltà sta nel tradurle in condizioni in x. Questo per dirlo alla grossa

[Gandalf73]

Perveniamo ad una diseguaglianza del tipo:

$ arcsin(x+1) >= pi - n $
$ arcsin(x+1)
E adesso si dovrebbe tradurre nelle condizioni in x.
Corretto?
A.

[Sk_Anonymous]

"Gandalf73":Perveniamo ad una diseguaglianza del tipo:

$ arcsin(x+1) >= pi - n $
$ arcsin(x+1)
E adesso si dovrebbe tradurre nelle condizioni in x.
Corretto?
A.

Come ci arrivi a questo risultato? Come ti e' stato suggerito, una maniera di procedere e' quella di porre \( y = \arcsin(x+1)\). Cosi' facendo ottieni la serie di potenze \[ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{n}{n+2} \right)^{n^2 + \tanh(n)} \frac{y^n}{n-\pi}. \]Un modo standard per studiare queste serie e' il teorema di Cauchy-Hadamard. Una volta che avrai il raggio di convergenza per \(y\) dovrai estrarre informazioni per \(x\).

[Gandalf73]

Allora il primo termine abbiamo detto tende ad 1 (o comunque è maggiorato da 1) e quindi lo togliamo,
Rimaniamo solo con la parte relativa alla serie di potenze in y.
Il modulo di questa per i criteri di convergenza deve essere < di 1 o comunque
$ y >= -1$
$ y < 1 $

Se $ y = arcsin (x+1) $ arriviamo a quanto ho scritto.

Ho detto una "scempiaggine" ?
A.

[Sk_Anonymous]

"Gandalf73":Allora il primo termine abbiamo detto tende ad 1 [...]

Il primo termine tende a \(0\). Comunque quello che dici e' confuso; con il teorema di Cauchy-Hadamard son veramente due conti in croce: poni \[c_n = \left( \frac{n}{n+2} \right)^{n^2 + \tanh(n)} \frac{1}{n-\pi} \]e quindi calcola il raggio di convergenza \(R\), definito da \[ \frac{1}{R} = \limsup_{n} \sqrt[n]{|c_n|}. \]Se leggi le due pagine che ho linkato vedi che e' facile.

[dissonance]

"Gandalf73":Perveniamo ad una diseguaglianza del tipo:

$ arcsin(x+1) >= pi - n $
$ arcsin(x+1)
E adesso si dovrebbe tradurre nelle condizioni in x.
Corretto?
A.

Beh, questa si che è una grossa scempiaggine, come dici tu. Che ci fa quella \(n\) lì? La n è la variabile muta di sommatoria, non può apparire nel risultato.

[Gandalf73]

----hai ragione...chissà a cosa stessi pensando mettendo l'n nella diseguaglianza.
Provo a controllare il teorema...vedendo a cosa pervengo.
Ehhhhh la polvere nelle conoscenze a cosa porta....

[Gandalf73]

Allora forse sono a buon punto,manca ancora qualcosa però
Dunque la $ tanh(n) $ può essere maggiorata con 1.
Utilizzando il criterio della radice perveniamo quindi a:

$\lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+2})^{\frac{n^2 + 1}{n}}(\frac{1}{n-\pi})^{\frac{1}{n}} $

Questo limite "dovrebbe" tendere a:

$\frac{1}{e^2}$.

Il mio dubbio è come si perviene al risultato sfruttando il limite notevole già noto correlandolo poi ad $ y = arcsin(x+1) $.
Un grazie a tutti
A.

[Gandalf73]

Dal raggio di convergenza si estrapoleranno i valori della y il cui rapporto con $ e^2 $ sarà < 1.