Studio continuità funzione due variabili mediante maggiorazioni
Buon pomeriggio a tutti! Trovo alcune difficoltà nello studiare la continuità di una funzione a due variabili mediante la definizione di limite. La funzione è la seguente:
$ f(x,y)={ ( ((x-1)^2log(1+|y|))/((x-1)^2+y^2) se (x,y)ne(1,0) ),( 1 se (x,y)=(1,0)):} $
Ho scritto la definizione di continuità di una funzione in due variabili in un punto, ovvero che
$ lim_((x,y) -> (x_0,y_0)) f(x,y)=f(x_0,y_0) $ quindi $ lim_((x,y) -> (1,0)) ((x-1)^2log(1+|y|))/((x-1)^2+y^2)=1 $
Utilizzando la definizione di limite nel caso di funzioni in due variabili, dirò che
\( \forall \varepsilon >0 \exists \delta >0 : \sqrt{(x-1)^2+y^2} \le \delta \Rightarrow |f(x,y)-1|<\varepsilon \)
quindi mi tocca studiare per quali valori di \( \delta \) si ha che \( |(((x-1)^2log(1+|y|))/((x-1)^2+y^2))-1|<\varepsilon \) , giusto? Il problema è che non so proprio come muovermi, ammetto di avere avuto anche qualche problema nel caso di limiti di funzioni in una sola variabile ogni volta che mi si chiedeva di dimostrare tramite la definizione di limite che la funzione tende a un dato valore. So che bisogna utilizzare le maggiorazioni e alcune disuguaglianze come quella triangolare e di Cauchy-Schwarz, ma noto che è presente un logaritmo che mi potrebbe rendere la vita un po' difficile
Mi sapreste aiutare? Vi ringrazio in anticipo e ancora un buon pomeriggio a tutti!
$ f(x,y)={ ( ((x-1)^2log(1+|y|))/((x-1)^2+y^2) se (x,y)ne(1,0) ),( 1 se (x,y)=(1,0)):} $
Ho scritto la definizione di continuità di una funzione in due variabili in un punto, ovvero che
$ lim_((x,y) -> (x_0,y_0)) f(x,y)=f(x_0,y_0) $ quindi $ lim_((x,y) -> (1,0)) ((x-1)^2log(1+|y|))/((x-1)^2+y^2)=1 $
Utilizzando la definizione di limite nel caso di funzioni in due variabili, dirò che
\( \forall \varepsilon >0 \exists \delta >0 : \sqrt{(x-1)^2+y^2} \le \delta \Rightarrow |f(x,y)-1|<\varepsilon \)
quindi mi tocca studiare per quali valori di \( \delta \) si ha che \( |(((x-1)^2log(1+|y|))/((x-1)^2+y^2))-1|<\varepsilon \) , giusto? Il problema è che non so proprio come muovermi, ammetto di avere avuto anche qualche problema nel caso di limiti di funzioni in una sola variabile ogni volta che mi si chiedeva di dimostrare tramite la definizione di limite che la funzione tende a un dato valore. So che bisogna utilizzare le maggiorazioni e alcune disuguaglianze come quella triangolare e di Cauchy-Schwarz, ma noto che è presente un logaritmo che mi potrebbe rendere la vita un po' difficile
Mi sapreste aiutare? Vi ringrazio in anticipo e ancora un buon pomeriggio a tutti!
Risposte
Puoi intanto vedere cosa succede alla restrizione \(y\mapsto f(1, y)\).
Buonasera anche a te eh! 
Mi stai quindi dicendo di procedere tramite restrizioni su rette? Purtroppo la professoressa ha espressamente detto che bisogna ragionare tramite maggiorazioni...!
Comunque, se considero la funzione in \( (1,y) \) avrò:
$ f(1,y)=(0*log(1+|y|))/(0+y^2)=0/y^2=0 $
Quindi posso dire che la funzione, per qualsiasi valore di y, sarà uguale a 0. Ma la questione è un'altra: come ragionare con le maggiorazioni?
Mi stai quindi dicendo di procedere tramite restrizioni su rette? Purtroppo la professoressa ha espressamente detto che bisogna ragionare tramite maggiorazioni...!
Comunque, se considero la funzione in \( (1,y) \) avrò:
$ f(1,y)=(0*log(1+|y|))/(0+y^2)=0/y^2=0 $
Quindi posso dire che la funzione, per qualsiasi valore di y, sarà uguale a 0. Ma la questione è un'altra: come ragionare con le maggiorazioni?
La restrizione vale \(0\) per ogni \(y\neq 0\), mentre vale \(1\) per \(y=0\); di conseguenza non è continua.
Questo implica, in particolare, che la funzione di partenza non sia continua.
Altro discorso se la funzione \(f\), in \((1,0)\), fosse stata nulla...
Questo implica, in particolare, che la funzione di partenza non sia continua.
Altro discorso se la funzione \(f\), in \((1,0)\), fosse stata nulla...
Va benissimo, ma il dubbio che persiste è un altro: come posso dimostrare che la funzione non è continua in $ (1,0) $ utilizzando la definizione di limite? 
Fissa \(\varepsilon \in (0,1)\). Per ogni \(\delta > 0\) trovi un punto \(P_\delta = (1, \delta /2)\) tale che
\[
\|P_\delta - (1,0)\| = \delta /2 < \delta, \qquad
|f(P_\delta) - f(1,0)| = 1 > \varepsilon.
\]
\[
\|P_\delta - (1,0)\| = \delta /2 < \delta, \qquad
|f(P_\delta) - f(1,0)| = 1 > \varepsilon.
\]
Il mio problema è che non so come si ragiona in questi casi. Perché hai scelto epsilon elemento dell'intervallo (0,1)?
Il motivo è presto detto:
Se scegli \(\varepsilon \geq 1\) non riesci a negare la disuguaglianza presente nella definizione di continuità.
"Rigel":
\[|f(P_\delta) - f(1,0)| = 1 > \varepsilon.
\]
Se scegli \(\varepsilon \geq 1\) non riesci a negare la disuguaglianza presente nella definizione di continuità.
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